वर्ग पूर्ण करना क्या है?
वर्ग पूर्ण करना (Completing the Square) बीजगणित की एक विधि है, जिसमें किसी द्विघात व्यंजक \(ax^2 + bx + c\) को एक पूर्ण वर्ग पद और एक स्थिरांक के योग के रूप में लिख दिया जाता है। इस रूप में समीकरण के हल और उसके परवलय (parabola) का शीर्ष आसानी से पढ़े जा सकते हैं। यह कैलकुलेटर \(a \neq 0\) वाले किसी भी द्विघात समीकरण पर इस विधि को लागू करता है और आपको वास्तविक मूल, विविक्तकर (discriminant) तथा शीर्ष (vertex) बता देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
अपने समीकरण \(ax^2 + bx + c = 0\) से तीनों गुणांक \(a\), \(b\) और \(c\) दर्ज करें। कैलकुलेटर विविक्तकर \(b^2 - 4ac\) की गणना करता है। यदि यह शून्य या धनात्मक है, तो दो वास्तविक मूल दिखाए जाते हैं (विविक्तकर शून्य होने पर दोनों मूल समान होते हैं)। यदि यह ऋणात्मक है, तो समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं होता और मूल सम्मिश्र (complex) होते हैं।
सूत्र को समझें
\(ax^2 + bx + c = 0\) से शुरू करते हुए, दोनों ओर \(a\) से भाग दें और स्थिरांक को दूसरी ओर ले जाएँ: \(x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\)। अब वर्ग पूर्ण करने के लिए दोनों ओर \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) जोड़ दें, जिससे मिलता है \(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\)। वर्गमूल लेकर \(x\) को अलग करने पर मिलता है
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$जो जाना-पहचाना द्विघात सूत्र है। शीर्ष \(x = -\frac{b}{2a}\) पर स्थित होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
\(x^2 - 6x + 5 = 0\) के लिए, \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\) है। विविक्तकर है $$(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$$ तब $$x = \frac{6}{2} \pm \frac{\sqrt{16}}{2} = 3 \pm 2,$$ जिससे \(x_1 = 5\) और \(x_2 = 1\) मिलते हैं। शीर्ष \(x = 3\) पर है, और \(y = 9 - 18 + 5 = -4\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यदि विविक्तकर ऋणात्मक हो तो? परवलय \(x\)-अक्ष को कभी नहीं काटता, इसलिए कोई वास्तविक मूल नहीं होते; हल सम्मिश्र संख्याएँ होती हैं।
a का शून्य न होना ज़रूरी क्यों है? यदि \(a = 0\) हो तो समीकरण रैखिक (linear) हो जाता है, द्विघात नहीं, और ऐसे में वर्ग पूर्ण करने की विधि लागू नहीं होती।
शीर्ष (vertex) मुझे क्या बताता है? जब \(a > 0\) हो तो यह परवलय का सबसे निचला बिंदु (न्यूनतम) होता है, और जब \(a < 0\) हो तो सबसे ऊँचा बिंदु (अधिकतम) होता है।
