बहुपद की घात और अग्रणी गुणांक निकालने वाला कैलकुलेटर

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बहुपद के गुणांक (सबसे ऊँची घात पहले, कॉमा से अलग) Enter coefficients from the highest power down to the constant term. Example: 3x^3 - 5x + 2 → 3, 0, -5, 2

परिणाम

बहुपद की घात

3

अशून्य गुणांक वाली सबसे ऊँची घात

अग्रणी गुणांक	3
अशून्य पदों की संख्या	3

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल एक चर (variable) वाले बहुपद की घात (degree) और अग्रणी गुणांक (leading coefficient) निकालता है। घात उस चर की सबसे बड़ी शक्ति होती है जिसका गुणांक शून्य न हो, और अग्रणी गुणांक वह संख्या है जो इसी सबसे ऊँची घात वाले पद के साथ गुणा में होती है। ये दोनों मिलकर बहुपद के अंतिम व्यवहार (end behavior) और उसके वर्गीकरण — रैखिक (linear), द्विघात (quadratic), घन (cubic) इत्यादि — को दर्शाते हैं।

इसका उपयोग कैसे करें

अपने बहुपद को मानक रूप (घात घटते क्रम में) में लिखें और सिर्फ़ गुणांकों को कॉमा से अलग करते हुए डालें — सबसे ऊँची घात से लेकर स्थिर पद (constant) तक। जो भी घात गायब हो उसके लिए 0 ज़रूर लिखें ताकि सभी पदों की स्थिति सही बनी रहे। उदाहरण के लिए, बहुपद 3x³ − 5x + 2 में x² वाला पद नहीं है, इसलिए आप डालेंगे 3, 0, -5, 2।

सूत्र की व्याख्या

यदि किसी बहुपद को गुणांकों की सूची a₀, a₁, …, aₙ के रूप में लिखा जाए, तो घात उस सबसे बड़े सूचकांक (index) k के बराबर होती है जिसके लिए aₖ ≠ 0 हो, और अग्रणी गुणांक वही aₖ होता है। यह कैलकुलेटर आपकी सूची को सबसे ऊँची घात से जाँचता है, शुरुआती शून्यों को छोड़ देता है, और पहले मिलने वाले अशून्य पद को रिपोर्ट कर देता है।

$$P(x) = \sum_{i=0}^{n-1} a_i\, x^{\,n-1-i}, \quad \text{Coefficients} = [a_0, a_1, \dots, a_{n-1}]$$$$\begin{gathered} \deg(P) = \max\{\,n-1-i : a_i \neq 0\,\}, \qquad a_{\text{lead}} = a_{i^\ast} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} [a_0, a_1, \dots, a_{n-1}] &= \text{Coefficients (highest degree first)} \\ n &= \text{number of coefficients} \\ i^\ast &= \text{smallest } i \text{ with } a_i \neq 0 \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

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घात सबसे बड़ा घातांक है; अग्र गुणांक उस पद पर लिखी संख्या है।

हल किया गया उदाहरण

मान लीजिए 0x⁴ + 3x³ + 0x² − 5x + 2, जिसे 0, 3, 0, -5, 2 के रूप में डाला गया। शुरुआती 0 (जो x⁴ के लिए है) को छोड़ दिया जाता है, इसलिए सबसे ऊँची अशून्य घात x³ है। यहाँ घात है 3 और अग्रणी गुणांक है 3। इस बहुपद में तीन अशून्य पद हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल (FAQ)

7 जैसे स्थिर मान (constant) की घात क्या होती है? किसी भी अशून्य स्थिर संख्या की घात 0 होती है। बस 7 डालें।

शून्य बहुपद (zero polynomial) का क्या? जो बहुपद पूरी तरह 0 हो उसमें कोई भी अशून्य गुणांक नहीं होता; इसकी घात अक्सर अपरिभाषित मानी जाती है, लेकिन यह टूल इसकी घात 0 और अग्रणी गुणांक 0 बताता है।

क्या पदों को क्रम में डालना ज़रूरी है? हाँ — गुणांकों को सबसे ऊँची घात से स्थिर पद तक क्रम में लिखें, और किसी भी गायब घात के लिए 0 का उपयोग करें।