मूल से बहुपद बनाने वाला कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

अग्र गुणांक (a)

मूल / शून्य (अल्पविराम से अलग)

परिणाम

बहुपद P(x)

P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6

दिए गए मूलों से विस्तारित

घात	3
मूलों की संख्या	3
अग्र गुणांक	1
अचर पद	6

यह कैलकुलेटर क्या करता है

आमतौर पर हम किसी बहुपद के शून्य (मूल) निकालते हैं, लेकिन यह कैलकुलेटर ठीक इसका उल्टा काम करता है — जब आपको मूल पहले से पता हों, तब यह उनसे पूरा बहुपद बना देता है। आप कुछ वास्तविक मूल और (वैकल्पिक) अग्र गुणांक देते हैं, और यह आपको \(P(x)\) का पूर्ण विस्तारित मानक रूप, उसकी घात, अग्र गुणांक और अचर पद लौटा देता है।

इसका उपयोग कैसे करें

अपने मूलों को अल्पविराम से अलग करके लिखें (जैसे 1, -2, 3)। अग्र गुणांक a तय करें — सबसे सरल मोनिक बहुपद के लिए 1 रखें, या इसे बड़ा-छोटा करने के लिए कोई और मान दें। कैलकुलेटर \((x - r)\) रूप के सभी गुणनखंडों को आपस में गुणा करता है, अग्र गुणांक लगाता है और विस्तारित बहुपद दिखा देता है।

सूत्र को समझें

गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem) के अनुसार, यदि \(r\) किसी बहुपद \(P(x)\) का मूल है, तो \((x - r)\) उसका एक गुणनखंड होता है। इसलिए जिस बहुपद के मूल \(r_1, r_2, \ldots, r_n\) हों, वह होता है $$P(x) = a \prod_{i=1}^{n} \left( x - r_i \right)$$ कैलकुलेटर इस गुणनफल को चरण-दर-चरण करता है और \(x\) की घटती घातों के क्रम में विस्तार करता है। अग्र गुणांक सबसे ऊँची घात वाले पद को तय करता है, जबकि अचर पद, \(a\) और सभी मूलों के ऋणात्मक मानों के गुणनफल के बराबर होता है।

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एक बहुपद को अग्रणी गुणांक और गुणनखंडों \((x - r_i)\) के गुणनफल के रूप में बनाया जाता है, फिर विस्तृत किया जाता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए मूल हैं 1, −2 और 3 तथा \(a = 1\)। अब \((x - 1)(x + 2)(x - 3)\) को गुणा करें। पहले \((x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2\)। फिर \((x^2 + x - 2)(x - 3) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6\)। इस प्रकार $$P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6,$$ जो घात 3 का एक त्रिघात (cubic) बहुपद है जिसका अचर पद 6 है।

प्रत्येक मूल \(r_i\) वह स्थान है जहाँ बहुपद वक्र \(x\)-अक्ष को काटता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या मैं एक ही मूल दोबारा डाल सकता हूँ? हाँ — किसी मूल को दो बार लिखने पर उसकी बहुलता (multiplicity) दो हो जाती है, जिससे वह गुणनखंड वर्ग रूप में आता है।

क्या यह सम्मिश्र (complex) मूलों के साथ काम करता है? यह टूल वास्तविक मूलों के लिए बना है। सम्मिश्र संयुग्मी युग्मों को शामिल करने के लिए उन्हें एक वास्तविक द्विघात गुणनखंड के रूप में डालें।

अग्र गुणांक क्या करता है? यह पूरे बहुपद को मूल बदले बिना लंबवत (vertically) रूप से स्केल करता है, यानी \(a = 2\) रखने पर हर गुणांक दोगुना हो जाता है।