पूर्ण प्रायिकता का नियम क्या है?
पूर्ण प्रायिकता का नियम (Law of Total Probability) किसी घटना A की समग्र प्रायिकता निकालने में मदद करता है। इसके लिए हम पूरे प्रतिदर्श समष्टि (sample space) को परस्पर अपवर्जी और निःशेष घटनाओं के एक समूह — यानी एक विभाजन \(B_1, B_2, \ldots, B_n\) — में बाँट देते हैं। अगर आपको पता हो कि हर \(B_i\) कितनी संभव है और हर \(B_i\) के भीतर A कितनी संभव है, तो आप इन्हें मिलाकर एक ही बिना-शर्त प्रायिकता \(P(A)\) प्राप्त कर सकते हैं।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
प्रत्येक विभाजन घटना की प्रायिकता \(P(B_i)\) और उससे संबंधित सशर्त प्रायिकता \(P(A|B_i)\) दर्ज करें। आप अधिकतम तीन घटनाओं का उपयोग कर सकते हैं; यदि आपको केवल दो ही चाहिए तो किसी एक पंक्ति को खाली (शून्य) छोड़ दें। कैलकुलेटर हर जोड़े को गुणा करके सभी गुणनफलों को जोड़ता है और \(P(A)\) देता है। साथ ही यह जाँचता है कि आपके \(P(B_i)\) मानों का योग 1 है या नहीं — एक वैध विभाजन के लिए यह ज़रूरी है।
सूत्र को समझें
मुख्य समीकरण है $$P(A) = \sum P(A|B_i)\cdot P(B_i)$$ यहाँ हर पद \(P(A|B_i)\cdot P(B_i)\) दरअसल संयुक्त प्रायिकता \(P(A \cap B_i)\) है — यानी A के घटित होने और साथ ही परिदृश्य \(B_i\) में होने की संभावना। चूँकि सभी \(B_i\) परस्पर अपवर्जी हैं और सारी संभावनाओं को घेरते हैं, इन संयुक्त प्रायिकताओं को जोड़ने से A की कुल प्रायिकता मिल जाती है — चाहे कोई भी परिदृश्य घटित हो।
हल किया गया उदाहरण
दो फैक्ट्रियाँ पुर्ज़े सप्लाई करती हैं। फैक्ट्री 1, 60% पुर्ज़े बनाती है जिनमें 2% दोष दर है; फैक्ट्री 2, 40% पुर्ज़े बनाती है जिनमें 5% दोष दर है। किसी यादृच्छिक पुर्ज़े के दोषपूर्ण होने की प्रायिकता है $$P(A) = 0.02\cdot 0.60 + 0.05\cdot 0.40 = 0.012 + 0.020 = 0.032$$ यानी 3.2%।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या \(P(B_i)\) का योग 1 होना ज़रूरी है? हाँ। घटनाओं को प्रतिदर्श समष्टि का एक विभाजन बनाना चाहिए, इसलिए उनकी प्रायिकताओं का योग 1 होना ही चाहिए; ऐसा न होने पर कैलकुलेटर आपको चेतावनी देता है।
क्या सशर्त प्रायिकताएँ 1 से अधिक हो सकती हैं? नहीं। हर प्रायिकता, जिसमें हर \(P(A|B_i)\) भी शामिल है, 0 और 1 के बीच ही होनी चाहिए।
यह बेज़ प्रमेय (Bayes theorem) से कैसे जुड़ा है? सशर्त प्रायिकताओं को उलटते समय बेज़ प्रमेय में जिस हर (denominator) \(P(A)\) का उपयोग होता है, उसे पूर्ण प्रायिकता का नियम ही उपलब्ध कराता है।
