Toplam Olasılık Teoremi Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

P(B₁) — B₁ olayının olasılığı

P(A|B₁) — B₁ verildiğinde A'nın koşullu olasılığı

P(B₂)

P(A|B₂)

P(B₃)

P(A|B₃)

En fazla üç parçalanma olayı girin. Kullanmak istemediğiniz satırı boş bırakın. Geçerli bir parçalanma için B olasılıklarının toplamı 1 olmalıdır.

Sonuç

Toplam Olasılık P(A)

0,34

olasılık

Terim	P(A|Bᵢ)·P(Bᵢ)
B₁	0,1
B₂	0,12
B₃	0,12
P(Bᵢ) Toplamı	1

Toplam olasılık teoremi nedir?

Toplam olasılık teoremi, örnek uzayı birbirini dışlayan ve tümünü kapsayan olaylara (bir parçalanmaya) B₁, B₂, …, Bₙ ayırarak bir A olayının genel olasılığını bulmanızı sağlar. Her bir Bᵢ olayının ne kadar olası olduğunu ve A olayının her Bᵢ içinde ne kadar olası olduğunu biliyorsanız, bunları tek bir koşulsuz olasılık olan \(P(A)\) değerinde birleştirebilirsiniz.

B1, B2, B3 bölüntüsü örnek uzayı böler ve A olayı bunun her parçayla kesişimlerinden oluşur.

Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?

Her parçalanma olayının olasılığı \(P(B_i)\) ile buna karşılık gelen koşullu olasılık \(P(A|B_i)\) değerini girin. En fazla üç olay kullanabilirsiniz; yalnızca iki olaya ihtiyacınız varsa bir satırı boş (sıfır) bırakın. Araç, her çifti çarpar ve çarpımları toplayarak \(P(A)\) değerini verir. Ayrıca geçerli bir parçalanma için gerekli olan \(P(B_i)\) değerlerinin toplamının 1 olup olmadığını da kontrol eder.

Formülün açıklaması

Temel denklem şudur:

$$P(A) = \text{P(B}_1\text{)}\cdot\text{P(A|B}_1\text{)} + \text{P(B}_2\text{)}\cdot\text{P(A|B}_2\text{)} + \text{P(B}_3\text{)}\cdot\text{P(A|B}_3\text{)}$$

Her bir \(P(A|B_i)\cdot P(B_i)\) terimi, ortak olasılık \(P(A \cap B_i)\) değerini ifade eder: yani hem A olayının gerçekleşmesi hem de Bᵢ senaryosunda olunması olasılığı. Bᵢ olayları birbirini dışladığı ve tüm olasılıkları kapsadığı için, bu ortak olasılıkları toplamak, hangi senaryonun gerçekleştiğinden bağımsız olarak A olayının toplam olasılığını verir.

Reklam

Her dalın P(Bi) ile P(A|Bi) çarpımını gösteren ve toplanarak P(A) veren bir olasılık ağacı.

Çözümlü örnek

İki fabrika parça üretmektedir. 1. Fabrika parçaların %60'ını %2 kusurlu oranıyla üretmekte; 2. Fabrika ise %40'ını %5 kusurlu oranıyla üretmektedir. Rastgele seçilen bir parçanın kusurlu olma olasılığı şöyledir:

$$P(A) = 0{,}02\cdot 0{,}60 + 0{,}05\cdot 0{,}40 = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032$$

yani %3,2.

Sıkça sorulan sorular

\(P(B_i)\) değerlerinin toplamı 1 olmak zorunda mı? Evet. Olaylar örnek uzayın bir parçalanmasını oluşturmalıdır; dolayısıyla olasılıklarının toplamı 1 olmalıdır. Aksi durumda araç sizi uyarır.

Koşullu olasılıklar 1'i geçebilir mi? Hayır. Her \(P(A|B_i)\) dâhil tüm olasılıklar 0 ile 1 arasında olmalıdır.

Bunun Bayes teoremiyle ilişkisi nedir? Toplam olasılık teoremi, koşullu olasılıkları tersine çevirirken Bayes teoreminde kullanılan \(P(A)\) paydasını sağlar.