Qu'est-ce que la loi des probabilités totales ?
La loi des probabilités totales permet de déterminer la probabilité globale d'un événement A en découpant l'univers en un ensemble d'événements incompatibles deux à deux et exhaustifs : une partition B₁, B₂, …, Bₙ. Si vous connaissez la probabilité de chaque Bᵢ ainsi que la probabilité de A à l'intérieur de chaque Bᵢ, vous pouvez les recombiner pour obtenir une seule probabilité non conditionnelle, \(P(A)\).
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez la probabilité de chaque événement de la partition \(P(B_i)\) ainsi que la probabilité conditionnelle correspondante \(P(A|B_i)\). Vous pouvez utiliser jusqu'à trois événements ; laissez une ligne vide (à zéro) si deux suffisent. Le calculateur multiplie chaque paire et additionne les produits pour donner \(P(A)\). Il vérifie également que la somme de vos valeurs \(P(B_i)\) est bien égale à 1, condition indispensable pour obtenir une partition valable.
La formule expliquée
L'équation centrale est $$P(A) = \sum P(A|B_i)\cdot P(B_i)$$ Chaque terme \(P(A|B_i)\cdot P(B_i)\) correspond à la probabilité conjointe \(P(A \cap B_i)\) : la probabilité que A se réalise tout en se trouvant dans le scénario Bᵢ. Comme les Bᵢ sont incompatibles entre eux et couvrent toutes les possibilités, la somme de ces probabilités conjointes donne la probabilité totale de A, quel que soit le scénario qui se produit.
Exemple concret
Deux usines fournissent des pièces. L'usine 1 fabrique 60 % des pièces avec un taux de défaut de 2 % ; l'usine 2 en fabrique 40 % avec un taux de défaut de 5 %. La probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse vaut $$P(A) = 0{,}02\cdot 0{,}60 + 0{,}05\cdot 0{,}40 = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032,$$ soit 3,2 %.
FAQ
La somme des \(P(B_i)\) doit-elle être égale à 1 ? Oui. Les événements doivent former une partition de l'univers : la somme de leurs probabilités doit donc être égale à 1. Le calculateur vous avertit si ce n'est pas le cas.
Les probabilités conditionnelles peuvent-elles dépasser 1 ? Non. Toute probabilité, y compris chaque \(P(A|B_i)\), doit être comprise entre 0 et 1.
Quel est le lien avec le théorème de Bayes ? La loi des probabilités totales fournit le dénominateur \(P(A)\) utilisé dans le théorème de Bayes lorsqu'on inverse des probabilités conditionnelles.
