전확률 정리 계산기

계산 입력

P(B₁) — 사건 B₁의 확률

P(A|B₁) — B₁이 주어졌을 때 A의 조건부 확률

P(B₂)

P(A|B₂)

P(B₃)

P(A|B₃)

최대 세 개의 분할 사건을 입력하세요. 사용하지 않을 행은 비워 두면 됩니다. 유효한 분할이 되려면 B 확률들의 합이 1이어야 합니다.

결과

전체 확률 P(A)

0.34

확률

항	P(A|Bᵢ)·P(Bᵢ)
B₁	0.1
B₂	0.12
B₃	0.12
P(Bᵢ)의 합	1

전확률 정리란?

전확률 정리(law of total probability)는 표본공간을 서로 배반이면서 전체를 빠짐없이 덮는 사건들(분할) B₁, B₂, …, Bₙ로 나누어 사건 A의 전체 확률을 구하는 방법입니다. 각 Bᵢ가 일어날 확률과, 그 Bᵢ 안에서 A가 일어날 확률을 알고 있다면, 이들을 합쳐 조건이 붙지 않은 하나의 확률 \(P(A)\)로 다시 계산할 수 있습니다.

분할 B1, B2, B3이 표본 공간을 나누고, 사건 A는 각 부분과의 교집합으로 구성됩니다.

계산기 사용법

각 분할 사건의 확률 \(P(B_i)\)와 그에 대응하는 조건부 확률 \(P(A|B_i)\)를 입력하세요. 최대 세 개의 사건을 사용할 수 있으며, 두 개만 필요하다면 나머지 행은 비워 두거나 0으로 두면 됩니다. 계산기는 각 쌍을 곱한 뒤 그 곱들을 모두 더해 \(P(A)\)를 구합니다. 또한 유효한 분할이 되려면 \(P(B_i)\) 값의 합이 1이 되어야 하므로, 이 조건을 충족하는지도 함께 확인해 줍니다.

공식 풀이

핵심 식은 다음과 같습니다.

$$P(A) = \sum P(A|B_i)\cdot P(B_i)$$

각 항 \(P(A|B_i)\cdot P(B_i)\)는 결합확률 \(P(A \cap B_i)\), 즉 A가 일어나면서 동시에 Bᵢ 상황에 놓일 확률을 뜻합니다. Bᵢ들은 서로 배반이고 모든 경우를 빠짐없이 덮으므로, 이 결합확률들을 모두 더하면 어떤 상황에서 일어나든 상관없이 A가 일어날 전체 확률이 됩니다.

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각 가지의 P(Bi)에 P(A|Bi)를 곱하고 합하여 P(A)를 구하는 확률 트리.

예제로 보기

두 공장이 부품을 공급한다고 합시다. 1공장은 전체 부품의 60%를 만들며 불량률은 2%, 2공장은 40%를 만들며 불량률은 5%입니다. 무작위로 고른 부품이 불량일 확률은

$$P(A) = 0.02\cdot 0.60 + 0.05\cdot 0.40 = 0.012 + 0.020 = 0.032$$

즉 3.2%입니다.

자주 묻는 질문

\(P(B_i)\)의 합이 반드시 1이어야 하나요? 그렇습니다. 사건들이 표본공간의 분할을 이루어야 하므로 그 확률의 합은 1이 되어야 하며, 합이 1이 아니면 계산기가 경고를 표시합니다.

조건부 확률이 1을 넘을 수 있나요? 아닙니다. 각 \(P(A|B_i)\)를 포함한 모든 확률은 0과 1 사이의 값이어야 합니다.

베이즈 정리와는 어떤 관계가 있나요? 전확률 정리는 조건부 확률을 뒤집을 때 베이즈 정리에서 분모로 쓰이는 \(P(A)\)를 제공합니다.