¿Qué es el teorema de la probabilidad total?
El teorema de la probabilidad total te permite calcular la probabilidad global de un evento A descomponiendo el espacio muestral en un conjunto de eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos (una partición) \(B_1, B_2, \ldots, B_n\). Si conoces la probabilidad de cada \(B_i\) y la probabilidad de A dentro de cada \(B_i\), puedes combinarlas para obtener una única probabilidad incondicional \(P(A)\).
Cómo usar esta calculadora
Introduce la probabilidad de cada evento de la partición \(P(B_i)\) y su correspondiente probabilidad condicional \(P(A|B_i)\). Puedes trabajar con hasta tres eventos; deja una fila vacía (en cero) si solo necesitas dos. La calculadora multiplica cada par de valores y suma los productos para obtener \(P(A)\). Además, comprueba que tus valores de \(P(B_i)\) sumen 1, condición imprescindible para que la partición sea válida.
La fórmula explicada
La ecuación central es $$P(A) = \sum P(A|B_i)\cdot P(B_i)$$ Cada término \(P(A|B_i)\cdot P(B_i)\) representa la probabilidad conjunta \(P(A \cap B_i)\): la probabilidad de que ocurra A y, a la vez, estés en el escenario \(B_i\). Como los \(B_i\) son mutuamente excluyentes y cubren todas las posibilidades, sumar estas probabilidades conjuntas da la probabilidad total de A, sin importar qué escenario se produzca.
Ejemplo resuelto
Dos fábricas suministran piezas. La Fábrica 1 produce el 60 % de las piezas con una tasa de defectos del 2 %; la Fábrica 2 produce el 40 % con una tasa de defectos del 5 %. La probabilidad de que una pieza al azar sea defectuosa es $$P(A) = 0{,}02\cdot 0{,}60 + 0{,}05\cdot 0{,}40 = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032$$ es decir, un 3,2 %.
Preguntas frecuentes
¿Las \(P(B_i)\) deben sumar 1? Sí. Los eventos tienen que formar una partición del espacio muestral, por lo que sus probabilidades deben sumar 1; la calculadora te avisa si no es así.
¿Pueden las probabilidades condicionales superar 1? No. Toda probabilidad, incluida cada \(P(A|B_i)\), debe estar entre 0 y 1.
¿Qué relación tiene con el teorema de Bayes? El teorema de la probabilidad total aporta el denominador \(P(A)\) que se utiliza en el teorema de Bayes al invertir probabilidades condicionales.
