Công Cụ Tính Định Lý Xác Suất Toàn Phần

Nhập phép tính

P(B₁) — xác suất của biến cố B₁

P(A|B₁) — xác suất điều kiện của A khi biết B₁

P(B₂)

P(A|B₂)

P(B₃)

P(A|B₃)

Nhập tối đa ba biến cố trong phân hoạch. Để trống một dòng nếu không dùng. Tổng các xác suất P(B) phải bằng 1 để có phân hoạch hợp lệ.

Kết quả

Xác suất toàn phần P(A)

0,34

xác suất

Số hạng	P(A|Bᵢ)·P(Bᵢ)
B₁	0,1
B₂	0,12
B₃	0,12
Tổng các P(Bᵢ)	1

Định lý xác suất toàn phần là gì?

Định lý xác suất toàn phần giúp bạn tìm xác suất chung của một biến cố A bằng cách chia không gian mẫu thành một nhóm các biến cố xung khắc đôi một và đầy đủ (một phân hoạch) B₁, B₂, …, Bₙ. Nếu biết khả năng xảy ra của mỗi Bᵢ và khả năng A xảy ra trong từng Bᵢ, bạn có thể kết hợp chúng lại thành một xác suất không điều kiện duy nhất là P(A).

Phân hoạch B1, B2, B3 chia không gian mẫu, và biến cố A gồm các phần giao của nó với từng phần.

Cách sử dụng công cụ

Hãy nhập xác suất của mỗi biến cố trong phân hoạch P(Bᵢ) cùng xác suất điều kiện tương ứng P(A|Bᵢ). Bạn có thể dùng tối đa ba biến cố; nếu chỉ cần hai biến cố thì để trống (hoặc nhập 0) ở dòng còn lại. Công cụ sẽ nhân từng cặp giá trị rồi cộng các tích lại để cho ra P(A). Ngoài ra, công cụ còn kiểm tra xem tổng các giá trị P(Bᵢ) có bằng 1 hay không — điều kiện bắt buộc để có một phân hoạch hợp lệ.

Giải thích công thức

Phương trình cốt lõi là P(A) = Σ P(A|Bᵢ)·P(Bᵢ). Mỗi số hạng P(A|Bᵢ)·P(Bᵢ) chính là xác suất đồng thời P(A ∩ Bᵢ): khả năng vừa xảy ra A vừa rơi vào trường hợp Bᵢ. Vì các Bᵢ xung khắc đôi một và bao phủ mọi khả năng, nên việc cộng các xác suất đồng thời này lại sẽ cho ra tổng khả năng xảy ra A bất kể đang ở trường hợp nào.

$$P(A) = \text{P(B}_1\text{)}\cdot\text{P(A|B}_1\text{)} + \text{P(B}_2\text{)}\cdot\text{P(A|B}_2\text{)} + \text{P(B}_3\text{)}\cdot\text{P(A|B}_3\text{)}$$

Quảng cáo

Cây xác suất thể hiện mỗi nhánh P(Bi) nhân với P(A|Bi), cộng lại để được P(A).

Ví dụ minh họa

Hai nhà máy cùng cung cấp linh kiện. Nhà máy 1 sản xuất 60% số linh kiện với tỷ lệ lỗi 2%; nhà máy 2 sản xuất 40% với tỷ lệ lỗi 5%. Khả năng một linh kiện bất kỳ bị lỗi là $$P(A) = 0{,}02\cdot 0{,}60 + 0{,}05\cdot 0{,}40 = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032,$$ tức 3,2%.

Câu hỏi thường gặp

Tổng các P(Bᵢ) có bắt buộc bằng 1 không? Có. Các biến cố phải tạo thành một phân hoạch của không gian mẫu, nên tổng xác suất của chúng phải bằng 1; công cụ sẽ cảnh báo nếu tổng này khác 1.

Các xác suất điều kiện có thể lớn hơn 1 không? Không. Mọi xác suất, kể cả từng P(A|Bᵢ), đều phải nằm trong khoảng từ 0 đến 1.

Định lý này liên hệ thế nào với định lý Bayes? Định lý xác suất toàn phần cung cấp mẫu số P(A) được dùng trong định lý Bayes khi ta đảo ngược các xác suất điều kiện.