Калькулятор формулы полной вероятности

Введите расчет

P(B₁) — вероятность гипотезы B₁

P(A|B₁) — условная вероятность A при гипотезе B₁

P(B₂)

P(A|B₂)

P(B₃)

P(A|B₃)

Задайте до трёх гипотез. Чтобы пропустить строку, оставьте её пустой. Для корректной полной группы сумма вероятностей B должна равняться 1.

Результатов

Полная вероятность P(A)

0,34

вероятность

Слагаемое	P(A|Bᵢ)·P(Bᵢ)
B₁	0,1
B₂	0,12
B₃	0,12
Сумма P(Bᵢ)	1

Что такое формула полной вероятности?

Формула полной вероятности позволяет найти общую вероятность события A, разбив пространство элементарных исходов на набор несовместных и исчерпывающих событий — так называемую полную группу гипотез B₁, B₂, …, Bₙ. Если известно, насколько вероятна каждая гипотеза Bᵢ и насколько вероятно событие A при выполнении каждой из них, эти данные можно объединить в единую безусловную вероятность P(A).

Разбиение B1, B2, B3 делит пространство элементарных событий, а событие A состоит из его пересечений с каждой частью.

Как пользоваться калькулятором

Введите вероятность каждой гипотезы \(P(B_i)\) и соответствующую условную вероятность \(P(A|B_i)\). Можно задать до трёх событий; если вам нужны только два, оставьте лишнюю строку пустой (нулевой). Калькулятор перемножит каждую пару значений и сложит полученные произведения, выдав итоговую \(P(A)\). Дополнительно он проверит, что сумма ваших \(P(B_i)\) равна 1 — это обязательное условие корректной полной группы гипотез.

Разбор формулы

Основное уравнение выглядит так: $$P(A) = \sum P(A|B_i)\cdot P(B_i).$$ Каждое слагаемое \(P(A|B_i)\cdot P(B_i)\) — это совместная вероятность \(P(A \cap B_i)\): вероятность того, что одновременно произошло A и реализовался сценарий \(B_i\). Поскольку гипотезы \(B_i\) несовместны и охватывают все возможные исходы, сумма этих совместных вероятностей и даёт полную вероятность события A независимо от того, какой именно сценарий осуществился.

Реклама

Дерево вероятностей, где каждая ветвь \(P(B_i)\) умножается на \(P(A|B_i)\), а сумма даёт \(P(A)\).

Пример с решением

Детали поставляют два завода. Завод №1 выпускает 60% деталей при доле брака 2%; завод №2 — 40% деталей при доле брака 5%. Вероятность того, что случайно взятая деталь окажется бракованной, равна $$P(A) = 0{,}02\cdot 0{,}60 + 0{,}05\cdot 0{,}40 = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032,$$ то есть 3,2%.

Частые вопросы

Обязательно ли, чтобы сумма \(P(B_i)\) равнялась 1? Да. События должны образовывать полную группу гипотез, поэтому их вероятности в сумме обязаны давать 1; калькулятор предупредит вас, если это не так.

Могут ли условные вероятности превышать 1? Нет. Любая вероятность, включая каждую \(P(A|B_i)\), должна лежать в диапазоне от 0 до 1.

Как это связано с формулой Байеса? Формула полной вероятности даёт знаменатель \(P(A)\), который используется в формуле Байеса при «обращении» условных вероятностей.