ما هو قانون الاحتمال الكلي؟
يتيح لك قانون الاحتمال الكلي إيجاد الاحتمال الإجمالي لحدث ما A عن طريق تقسيم فضاء العينة إلى مجموعة من الأحداث المتنافية والشاملة (تُسمى تقسيمًا) \(B_1\)، \(B_2\)، …، \(B_n\). فإذا كنت تعرف احتمال وقوع كل حدث \(B_i\) ومدى احتمال وقوع A ضمن كل حالة منها، يمكنك دمج هذه القيم للحصول على احتمال واحد غير مشروط هو \(P(A)\).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل احتمال كل حدث من أحداث التقسيم \(P(B_i)\) والاحتمال الشرطي المقابل له \(P(A|B_i)\). يمكنك استخدام ثلاثة أحداث كحد أقصى؛ واترك أحد الصفوف فارغًا (صفرًا) إذا كنت بحاجة إلى حدثين فقط. تقوم الحاسبة بضرب كل زوج ثم جمع النواتج للحصول على \(P(A)\). كما تتحقق من أن مجموع قيم \(P(B_i)\) يساوي 1، وهو شرط لازم لصحة التقسيم.
شرح الصيغة
المعادلة الأساسية هي $$P(A) = \sum P(A|B_i)\cdot P(B_i)$$ يمثّل كل حد \(P(A|B_i)\cdot P(B_i)\) الاحتمال المشترك \(P(A \cap B_i)\)، أي احتمال أن يقع A وأن تكون في الحالة \(B_i\) في الوقت نفسه. ولأن الأحداث \(B_i\) متنافية وتغطي جميع الاحتمالات الممكنة، فإن جمع هذه الاحتمالات المشتركة يعطينا احتمال وقوع A بصرف النظر عن الحالة التي تتحقق.
مثال محلول
يزوّد مصنعان قطع الغيار. المصنع الأول ينتج 60% من القطع بنسبة عيوب تبلغ 2%، بينما ينتج المصنع الثاني 40% بنسبة عيوب 5%. إذن احتمال أن تكون قطعة عشوائية معيبة هو $$P(A) = 0.02\cdot 0.60 + 0.05\cdot 0.40 = 0.012 + 0.020 = 0.032$$ أي 3.2%.
الأسئلة الشائعة
هل يجب أن يكون مجموع \(P(B_i)\) مساويًا لـ 1؟ نعم. يجب أن تشكّل الأحداث تقسيمًا لفضاء العينة، لذا ينبغي أن يكون مجموع احتمالاتها 1؛ وتنبّهك الحاسبة إذا لم يتحقق ذلك.
هل يمكن أن تتجاوز الاحتمالات الشرطية القيمة 1؟ لا. كل احتمال، بما في ذلك كل \(P(A|B_i)\)، يجب أن تتراوح قيمته بين 0 و1.
ما علاقة هذا القانون بنظرية بايز؟ يوفّر قانون الاحتمال الكلي المقام \(P(A)\) المستخدم في نظرية بايز عند عكس الاحتمالات الشرطية.
