Bu hesaplama aracı ne işe yarar?
Köklerden Polinom Hesaplama aracı, alışılmış kök bulma problemini tersine çevirir: bir polinomun sıfırlarını çözmek yerine, kökleri zaten elinizde olduğunda polinomun kendisini kurar. Bir reel kök kümesi ve isteğe bağlı bir baş katsayı girdiğinizde, \(P(x)\)'in tam açılmış standart biçimini; ayrıca derecesini, baş katsayısını ve sabit terimini size verir.
Nasıl kullanılır?
Köklerinizi virgülle ayrılmış bir liste hâlinde girin (örneğin 1, -2, 3). Baş katsayı a'yı belirleyin — en sade, yani monik polinom için 1 kullanın ya da polinomu ölçeklemek için başka bir değer seçin. Araç, \((x - r)\) çarpanlarını birbiriyle çarpar, baş katsayıyı uygular ve açılmış polinomu ekrana yazar.
Formülün açıklaması
Çarpan Teoremi'ne göre, eğer \(r\) sayısı \(P(x)\)'in bir köküyse \((x - r)\) ifadesi \(P(x)\)'in bir çarpanıdır. Dolayısıyla kökleri \(r_1, r_2, \ldots, r_n\) olan bir polinom şu biçimdedir: $$P(x) = a \prod_{i=1}^{n} \left( x - r_i \right) = a \cdot (x - r_1)(x - r_2)\ldots(x - r_n)$$ Araç bu çarpımı adım adım gerçekleştirir ve \(x\)'in azalan kuvvetlerine göre açar. Baş katsayı en yüksek dereceli terimi belirlerken, sabit terim \(a\) ile işareti değiştirilmiş köklerin çarpımına eşittir.
Çözümlü örnek
Kökler 1, −2 ve 3 olsun, \(a = 1\) alalım. \((x - 1)(x + 2)(x - 3)\) çarpımını yapalım. Önce $$(x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2$$ Sonra $$(x^2 + x - 2)(x - 3) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$$ Buna göre \(P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6\) olur; bu, sabit terimi 6 olan 3. dereceden bir kübik polinomdur.
Sık sorulan sorular
Tekrar eden kök girebilir miyim? Evet — bir kökü iki kez yazmak ona iki katlılık (multiplicity) verir ve karesi alınmış bir çarpan oluşturur.
Karmaşık kökleri de işliyor mu? Bu araç reel köklerle çalışır. Karmaşık eşlenik çiftleri eklemek isterseniz bunları reel bir ikinci dereceden (kuadratik) çarpan olarak girin.
Baş katsayı ne işe yarar? Polinomun tamamını kökleri değiştirmeden dikey olarak ölçekler; yani \(a = 2\) her katsayıyı iki katına çıkarır.
