Công cụ này làm gì
Công cụ Lập Đa Thức Từ Nghiệm làm điều ngược lại với bài toán tìm nghiệm quen thuộc: thay vì đi giải để tìm nghiệm của một đa thức, nó dựng nên đa thức khi bạn đã biết trước các nghiệm. Khi bạn nhập một tập nghiệm thực kèm theo hệ số bậc cao nhất (tùy chọn), công cụ trả về dạng chuẩn đã khai triển đầy đủ của \(P(x)\), cùng với bậc, hệ số bậc cao nhất và số hạng tự do.
Cách sử dụng
Nhập các nghiệm dưới dạng danh sách cách nhau bằng dấu phẩy (ví dụ 1, -2, 3). Đặt hệ số bậc cao nhất a — dùng 1 để có đa thức đơn vị (monic) đơn giản nhất, hoặc dùng giá trị khác để co giãn đa thức. Công cụ sẽ nhân các nhân tử \((x - r)\) với nhau, áp dụng hệ số bậc cao nhất, rồi in ra đa thức ở dạng khai triển.
Giải thích công thức
Theo Định lý về nhân tử (Factor Theorem), nếu \(r\) là nghiệm của \(P(x)\) thì \((x - r)\) là một nhân tử. Vì vậy, một đa thức có các nghiệm \(r_1, r_2, \ldots, r_n\) sẽ có dạng
$$P(x) = a \prod_{i=1}^{n} \left( x - r_i \right)$$Công cụ thực hiện phép nhân này theo từng bước, khai triển thành các lũy thừa của \(x\) giảm dần. Hệ số bậc cao nhất quyết định số hạng có bậc lớn nhất, còn số hạng tự do bằng \(a\) nhân với tích của các nghiệm đã đổi dấu.
Ví dụ minh họa
Giả sử các nghiệm là 1, −2 và 3 với \(a = 1\). Ta nhân \((x - 1)(x + 2)(x - 3)\). Trước hết
$$(x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2$$Sau đó
$$(x^2 + x - 2)(x - 3) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$$Vậy \(P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6\), một đa thức bậc ba (bậc 3) với số hạng tự do là 6.
Câu hỏi thường gặp
Tôi có thể nhập nghiệm lặp lại không? Có — liệt kê một nghiệm hai lần sẽ cho nó bội số bằng hai, tạo ra một nhân tử bình phương.
Công cụ có xử lý được nghiệm phức không? Công cụ này làm việc với nghiệm thực. Để đưa vào các cặp nghiệm phức liên hợp, bạn hãy nhập chúng dưới dạng một nhân tử bậc hai có hệ số thực.
Hệ số bậc cao nhất có tác dụng gì? Nó co giãn toàn bộ đa thức theo phương thẳng đứng mà không làm thay đổi các nghiệm, nên \(a = 2\) sẽ nhân đôi mọi hệ số.
