이 계산기는 무엇을 하나요
근의 다항식 계산기는 흔히 풀어야 하는 '근 찾기' 문제를 거꾸로 뒤집은 도구입니다. 다항식의 영점(근)을 구하는 대신, 이미 근을 알고 있을 때 그 근으로부터 다항식을 만들어 줍니다. 실근들의 집합과 (선택 사항인) 최고차항 계수를 입력하면, 완전히 전개된 표준형 \(P(x)\)와 함께 차수, 최고차항 계수, 상수항을 돌려줍니다.
사용 방법
근은 쉼표로 구분된 목록으로 입력하세요(예: 1, -2, 3). 최고차항 계수 a를 설정합니다 — 가장 단순한 모닉(최고차항 계수가 1인) 다항식을 원하면 1을, 크기를 조절하고 싶다면 다른 값을 입력하면 됩니다. 계산기는 인수 \((x - r)\)들을 모두 곱한 뒤 최고차항 계수를 적용하고, 전개된 다항식을 출력합니다.
공식 풀이
인수정리에 따르면, \(r\)이 \(P(x)\)의 근이라면 \((x - r)\)은 \(P(x)\)의 인수입니다. 따라서 근이 \(r_1, r_2, \ldots, r_n\)인 다항식은 다음 꼴이 됩니다.
$$P(x) = a \prod_{i=1}^{n} \left( x - r_i \right)$$계산기는 이 곱셈을 단계별로 수행하여 \(x\)의 내림차순 거듭제곱 형태로 전개합니다. 최고차항 계수는 가장 높은 차수의 항을 결정하고, 상수항은 \(a\)와 부호를 바꾼 근들의 곱을 곱한 값과 같습니다.
예제로 보기
근이 1, −2, 3이고 \(a = 1\)이라고 합시다. \((x - 1)(x + 2)(x - 3)\)을 곱합니다. 먼저 \((x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2\)가 됩니다. 그다음 \((x^2 + x - 2)(x - 3) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6\)입니다. 따라서
$$P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$$이며, 이는 차수가 3인 삼차식이고 상수항은 6입니다.
자주 묻는 질문
같은 근을 여러 번 입력할 수 있나요? 네 — 같은 근을 두 번 적으면 중복도(다중도) 2가 되어 제곱 인수가 만들어집니다.
복소근도 처리하나요? 이 도구는 실근을 대상으로 합니다. 복소켤레쌍을 포함하려면 대신 실수 계수의 이차 인수 형태로 입력하세요.
최고차항 계수는 어떤 역할을 하나요? 근은 그대로 둔 채 다항식 전체를 세로로 확대·축소합니다. 예를 들어 \(a = 2\)이면 모든 계수가 두 배가 됩니다.
