근의 성질 판별 계산기란?
이 계산기는 \(ax^2 + bx + c = 0\) 형태의 이차방정식을 분석해 해(근)가 어떤 종류인지 알려줍니다. 핵심은 판별식 $$D = b^2 - 4ac$$ 를 계산하는 것인데, 이 값 하나만으로도 방정식을 직접 풀지 않고 근이 실수인지 복소수인지 곧바로 판단할 수 있습니다.
사용 방법
세 개의 계수를 입력하세요. a(x²의 계수), b(x의 계수), c(상수항)를 넣으면 됩니다. 그러면 계산기가 판별식 값, 근의 성질에 대한 알기 쉬운 설명, 그리고 실제 근의 값(실근 또는 켤레복소근)을 함께 보여 줍니다.
공식 풀이
판별식은 근의 공식에서 제곱근 안에 들어가는 부분입니다. 음수의 실수 제곱근은 구할 수 없기 때문에, 판별식의 부호만 보면 근의 성질을 한눈에 알 수 있습니다.
\(D > 0\): 서로 다른 두 실근. \(D = 0\): 하나의 실근이 두 번 겹친 중근(포물선이 x축에 접함). \(D < 0\): 실근이 없으며, 대신 \(p \pm qi\) 형태의 두 켤레복소근을 가집니다.
예제 풀이
\(x^2 - 5x + 6 = 0\) 인 경우 \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\) 입니다. 따라서 $$D = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$ 이 됩니다. \(D > 0\) 이므로 서로 다른 두 실근을 가지며, \(x = \frac{5 \pm 1}{2}\) 에서 \(x = 3\), \(x = 2\) 가 나옵니다.
자주 묻는 질문
a = 0 이면 어떻게 되나요? 이 경우 방정식은 이차방정식이 아니라 일차방정식이 되므로 판별식을 적용할 수 없습니다. 계산기가 이런 상황을 자동으로 알려 줍니다.
판별식이 분수나 소수가 될 수 있나요? 네, 가능합니다. 계수로 어떤 실수든 넣을 수 있으므로 \(D\) 역시 임의의 실수가 될 수 있습니다.
켤레복소근이란 무엇인가요? \(D < 0\) 일 때 두 근은 실수 부분은 같고 허수 부분의 부호만 반대인 형태로, \(p + qi\) 와 \(p - qi\) 처럼 표현됩니다.
