이 계산기의 기능
이 도구는 표준형 \(ax^2 + bx + c = 0\) 으로 정리된 이차방정식에 비에트 공식(근과 계수의 관계)을 적용합니다. 실제 근을 직접 풀지 않고도 두 근의 합과 곱을 즉시 구할 수 있습니다. 계산 결과를 검산하거나, 알려진 근으로부터 방정식을 거꾸로 만들거나, 합과 곱만 필요한 문제를 풀 때 매우 유용합니다.
사용 방법
세 개의 계수를 입력하세요. a는 \(x^2\)의 계수, b는 \(x\)의 계수, c는 상수항입니다. 이때 \(a\)는 0이 될 수 없습니다. \(a\)가 0이면 이차방정식이 아니라 일차방정식이 되기 때문입니다. 계산기는 두 근의 합(\(-b/a\)), 곱(\(c/a\)), 그리고 근의 성질을 알려주는 판별식(\(b^2 - 4ac\))을 함께 출력합니다.
공식 풀이
두 근이 \(x_1\), \(x_2\)인 이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\)에 대해, 비에트 공식은 다음을 알려줍니다.
$$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$$이는 인수분해에서 바로 유도됩니다. $$a(x - x_1)(x - x_2) = ax^2 - a(x_1+x_2)x + a\cdot x_1 x_2$$ 로 전개한 뒤 원래 방정식의 계수와 비교하면 됩니다.
예제 풀이
\(x^2 - 5x + 6 = 0\) 을 살펴봅시다. \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\) 입니다. 두 근의 합은 $$-\frac{b}{a} = \frac{-(-5)}{1} = 5$$ 곱은 $$\frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6$$ 입니다. 실제로 두 근은 2와 3이며, 더하면 5, 곱하면 6이 되어 일치합니다. 판별식은 $$(-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$ 로, 양수이면서 완전제곱수이므로 서로 다른 두 유리수 근을 가진다는 것을 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
먼저 방정식을 풀어야 하나요? 아니요. 비에트 공식은 계수만으로 합과 곱을 바로 구해 주므로 방정식을 풀 필요가 없습니다.
판별식은 무엇을 알려주나요? \(b^2 - 4ac\)가 양수이면 서로 다른 두 실근, 0이면 하나의 중근, 음수이면 두 개의 켤레복소근을 가집니다.
a가 0이 될 수 있나요? 아니요. \(a = 0\)이면 일차방정식이 되며, 이차방정식에 대한 비에트 공식은 적용되지 않습니다.
