根的和与积计算器

输入计算

系数 a

系数 b

系数 c

结果

根的和（-b / a）

5

x₁ + x₂

根的积（c / a）	6
Discriminant ( b² - 4ac )	1

这个计算器能做什么

本工具将韦达定理应用于标准形式 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的一元二次方程。无需真正求解出方程的根，它就能立刻给出根的和与根的积。无论是检验解题过程、由已知根反向构造方程，还是处理那些只关心和与积的题目，这都非常方便实用。

使用方法

输入三个系数：a（x² 的系数）、b（x 的系数）和 c（常数项）。系数 a 不能为 0，否则方程就退化成一次方程，而非一元二次方程。计算器会返回根的和（\(-b/a\)）、根的积（\(c/a\)）以及判别式（\(b^2 - 4ac\)），后者可以帮你判断根的性质。

公式详解

对于任意一元二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)，设其两根为 \(x_1\) 和 \(x_2\)，韦达定理指出：

$$\text{Sum} = -\dfrac{\text{b}}{\text{a}}, \qquad \text{Product} = \dfrac{\text{c}}{\text{a}}$$

这一结论可由因式分解直接推导：\(a(x - x_1)(x - x_2) = ax^2 - a(x_1+x_2)x + a\cdot x_1 x_2\)，再将各项系数与原方程一一对照即可得出。

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韦达定理将系数 a、b、c 与根的和与积联系起来。

例题演示

以 \(x^2 - 5x + 6 = 0\) 为例，此时 \(a = 1\)，\(b = -5\)，\(c = 6\)。根的和为

$$-\frac{b}{a} = \frac{-(-5)}{1} = 5$$

根的积为

$$\frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6$$

实际上两根为 2 和 3，正好相加得 5、相乘得 6。判别式为

$$(-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$

是一个正的完全平方数，说明方程有两个不相等的有理根。

两个根 x1 和 x2 是抛物线与 x 轴的交点，它们的和与积由韦达定理得出。

常见问题

必须先把方程解出来吗？不需要。韦达定理可以直接从系数得出根的和与积，完全无需求解。

判别式说明了什么？当 \(b^2 - 4ac\) 为正时，方程有两个不相等的实根；为 0 时有一个重根；为负时则有一对共轭复根。

a 可以等于 0 吗？不可以。如果 \(a = 0\)，方程就变成了一次方程，针对一元二次方程的韦达定理便不再适用。