Ce que fait ce calculateur
Cet outil applique les formules de Viète à une équation du second degré écrite sous forme canonique \(a x^{2} + b x + c = 0\). Sans jamais résoudre l'équation, il vous donne instantanément la somme des racines et leur produit. C'est extrêmement pratique pour vérifier vos calculs, reconstruire une équation à partir de racines connues, ou résoudre des problèmes où seuls la somme et le produit comptent.
Comment l'utiliser
Saisissez les trois coefficients : a (le coefficient de \(x^{2}\)), b (le coefficient de \(x\)) et c (le terme constant). Le coefficient a ne doit pas être nul, sinon l'équation est du premier degré et non du second. Le calculateur affiche alors la somme \(\left(-\frac{b}{a}\right)\), le produit \(\left(\frac{c}{a}\right)\) et le discriminant \(\left(b^{2} - 4ac\right)\), qui renseigne sur la nature des racines.
La formule expliquée
Pour toute équation du second degré \(a x^{2} + b x + c = 0\) dont les racines sont \(x_{1}\) et \(x_{2}\), les formules de Viète énoncent que
$$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}, \qquad x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$$Elles découlent directement de la factorisation : \(a(x - x_{1})(x - x_{2}) = a x^{2} - a(x_{1}+x_{2})x + a\cdot x_{1}x_{2}\), puis de l'identification terme à terme avec l'équation de départ.
Exemple résolu
Prenons \(x^{2} - 5x + 6 = 0\), donc \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\). La somme des racines vaut
$$-\frac{b}{a} = -\frac{-5}{1} = 5$$et le produit vaut
$$\frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6$$Effectivement, les racines sont 2 et 3 : leur somme fait 5 et leur produit fait 6. Le discriminant est égal à
$$(-5)^{2} - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$un carré parfait positif confirmant l'existence de deux racines rationnelles distinctes.
FAQ
Dois-je d'abord résoudre l'équation ? Non. Les formules de Viète donnent directement la somme et le produit à partir des coefficients, sans aucune résolution.
Que m'apprend le discriminant ? Si \(b^{2} - 4ac\) est positif, il existe deux racines réelles ; s'il est nul, il y a une racine double ; s'il est négatif, les racines sont deux complexes conjugués.
Le coefficient a peut-il être nul ? Non. Si \(a = 0\), l'équation est du premier degré et les formules de Viète propres au second degré ne s'appliquent pas.
