Calculadora de suma y producto de las raíces

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Coeficiente a

Coeficiente b

Coeficiente c

Resultados

Suma de las raíces ( -b / a )

5

x₁ + x₂

Producto de las raíces ( c / a )	6
Discriminant ( b² - 4ac )	1

Qué hace esta calculadora

Esta herramienta aplica las fórmulas de Vieta a una ecuación cuadrática escrita en su forma estándar \(ax^{2} + bx + c = 0\). Sin necesidad de resolver para hallar las raíces, te devuelve al momento la suma de las raíces y el producto de las raíces. Resulta muy práctico para comprobar tus resultados, construir ecuaciones a partir de raíces conocidas o resolver problemas en los que solo importan la suma y el producto.

Cómo usarla

Introduce los tres coeficientes: a (el coeficiente de \(x^{2}\)), b (el coeficiente de \(x\)) y c (el término independiente). El coeficiente \(a\) no puede ser cero; de lo contrario la ecuación sería lineal y no cuadrática. La calculadora devuelve la suma \(\left(-\dfrac{b}{a}\right)\), el producto \(\left(\dfrac{c}{a}\right)\) y el discriminante \(\left(b^{2} - 4ac\right)\), que indica la naturaleza de las raíces.

La fórmula explicada

Para cualquier cuadrática \(ax^{2} + bx + c = 0\) con raíces \(x_{1}\) y \(x_{2}\), las fórmulas de Vieta establecen que

$$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}, \qquad x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$$

Se deducen directamente de la factorización:

$$a(x - x_{1})(x - x_{2}) = ax^{2} - a(x_{1}+x_{2})x + a\cdot x_{1}x_{2}$$

e igualando luego los coeficientes con la ecuación original.

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Las fórmulas de Vieta relacionan los coeficientes a, b y c con la suma y el producto de las raíces.

Ejemplo resuelto

Tomemos \(x^{2} - 5x + 6 = 0\), de modo que \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\). La suma de las raíces es

$$-\frac{b}{a} = -\frac{-5}{1} = 5$$

y el producto es

$$\frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6$$

En efecto, las raíces son \(2\) y \(3\), que suman \(5\) y multiplicadas dan \(6\). El discriminante es

$$(-5)^{2} - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$

un cuadrado perfecto positivo que confirma dos raíces racionales distintas.

Las dos raíces x1 y x2 son donde la parábola corta el eje x; su suma y producto se obtienen con Vieta.

Preguntas frecuentes

¿Tengo que resolver primero la ecuación cuadrática? No. Las fórmulas de Vieta dan la suma y el producto directamente a partir de los coeficientes, sin necesidad de resolverla.

¿Qué me indica el discriminante? Si \(b^{2} - 4ac\) es positivo, hay dos raíces reales; si es cero, hay una raíz doble; y si es negativo, las raíces son complejas conjugadas.

¿Puede a valer cero? No. Si \(a = 0\) la ecuación es lineal y las fórmulas de Vieta para una cuadrática no son aplicables.