Köklerin Toplamı ve Çarpımı Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

a katsayısı

b katsayısı

c katsayısı

Sonuç

Köklerin Toplamı ( -b / a )

5

x₁ + x₂

Köklerin Çarpımı ( c / a )	6
Discriminant ( b² - 4ac )	1

Bu Hesaplama Aracı Ne İşe Yarar?

Bu araç, standart biçimde yazılmış \(ax^{2} + bx + c = 0\) ikinci dereceden denklemine Vieta formüllerini uygular. Kökleri tek tek bulmaya hiç gerek kalmadan, köklerin toplamını ve çarpımını anında verir. İşleminizi kontrol etmek, bilinen köklerden denklem oluşturmak ya da yalnızca toplam ile çarpımın önemli olduğu problemleri çözmek için son derece kullanışlıdır.

Nasıl Kullanılır?

Üç katsayıyı girin: a (x² teriminin katsayısı), b (x teriminin katsayısı) ve c (sabit terim). a katsayısı sıfır olamaz; aksi halde denklem ikinci dereceden değil, birinci dereceden (doğrusal) olur. Araç; toplamı \(-b/a\), çarpımı \(c/a\) ve köklerin türünü gösteren diskriminantı \(b^{2} - 4ac\) hesaplar.

Formülün Açıklaması

Kökleri \(x_1\) ve \(x_2\) olan \(ax^{2} + bx + c = 0\) biçimindeki herhangi bir denklem için Vieta formülleri şunu söyler:

$$\text{Sum} = -\dfrac{\text{b}}{\text{a}}, \qquad \text{Product} = \dfrac{\text{c}}{\text{a}}$$

Bu eşitlikler doğrudan çarpanlara ayırmadan gelir:

$$a(x - x_1)(x - x_2) = ax^{2} - a(x_1+x_2)x + a\cdot x_1 x_2$$

ifadesini açıp katsayıları özgün denklemle eşleştirdiğimizde formüller ortaya çıkar.

Reklam

Vieta formülleri, a, b, c katsayılarını köklerin toplamı ve çarpımıyla ilişkilendirir.

Çözümlü Örnek

\(x^{2} - 5x + 6 = 0\) denklemini ele alalım; burada \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\) olur. Köklerin toplamı

$$-\dfrac{\text{b}}{\text{a}} = -\dfrac{-5}{1} = 5$$

çarpımı ise

$$\dfrac{\text{c}}{\text{a}} = \dfrac{6}{1} = 6$$

’dır. Gerçekten de kökler 2 ve 3’tür; bunların toplamı 5, çarpımı 6’dır. Diskriminant ise

$$(-5)^{2} - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$

olur; pozitif ve tam kare olması, iki farklı rasyonel kökün varlığını doğrular.

İki kök x1 ve x2, parabolün x eksenini kestiği yerlerdir; toplamları ve çarpımları Vieta'dan gelir.

Sıkça Sorulan Sorular

Önce denklemi çözmem gerekir mi? Hayır. Vieta formülleri toplam ile çarpımı doğrudan katsayılardan verir; denklemi çözmenize gerek yoktur.

Diskriminant bana neyi söyler? \(b^{2} - 4ac\) pozitifse iki gerçek kök, sıfırsa bir katlı (çift) kök, negatifse karmaşık eşlenik kökler vardır.

a sıfır olabilir mi? Hayır. \(a = 0\) olursa denklem birinci dereceden olur ve ikinci dereceden denklem için geçerli olan Vieta formülleri uygulanamaz.