この計算ツールでできること
このツールは、標準形 \(ax^{2} + bx + c = 0\) で表される二次方程式に「ヴィエタの公式（解と係数の関係）」を適用します。実際に根を求めることなく、根の和と積を瞬時に算出。検算をしたいとき、わかっている根から方程式を組み立てたいとき、あるいは根の和と積だけが必要な問題を解くときに、とても役立ちます。
使い方
3つの係数を入力します。a（\(x^{2}\) の係数）、b（x の係数）、そして c（定数項）です。係数 a は 0 にできません。a が 0 だと方程式は二次式ではなく一次式になってしまうためです。入力すると、根の和（\(-b/a\)）、根の積（\(c/a\)）、そして根の種類を判定する判別式（\(b^{2} - 4ac\)）が表示されます。
公式の解説
根を x₁、x₂ とする任意の二次方程式 \(ax^{2} + bx + c = 0\) において、ヴィエタの公式は $$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}, \qquad x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$$ が成り立つことを示します。これは因数分解から直接導かれます。 $$a(x - x_{1})(x - x_{2}) = ax^{2} - a(x_{1}+x_{2})x + a\cdot x_{1}x_{2}$$ と展開し、もとの方程式と係数を比較すれば得られます。
計算例
\(x^{2} - 5x + 6 = 0\) を考えてみましょう。a = 1、b = -5、c = 6 です。根の和は $$-\frac{b}{a} = -\frac{-5}{1} = 5$$ 根の積は $$\frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6$$ となります。実際に根は 2 と 3 で、足すと 5、掛けると 6 になり、ぴったり一致します。判別式は $$(-5)^{2} - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$ 正の完全平方数なので、相異なる2つの有理数の根を持つことが確認できます。
よくある質問
先に二次方程式を解く必要はありますか？ いいえ。ヴィエタの公式を使えば、係数から直接、根の和と積が求まります。方程式を解く必要はありません。
判別式から何がわかりますか？ \(b^{2} - 4ac\) が正なら相異なる2つの実数の根、0 なら重解（1つの根）、負なら互いに共役な複素数の根を持ちます。
a を 0 にできますか？ いいえ。a = 0 のとき方程式は一次式になり、二次方程式に対するヴィエタの公式は適用できません。
