この計算機でできること
「根から多項式を求める計算機」は、通常の根を求める問題を逆向きに解くツールです。多項式の零点（根）を計算する代わりに、すでに根がわかっているときに、その多項式を組み立てます。複数の実数の根と、任意の最高次の係数を入力すると、完全に展開された標準形の\(P(x)\)に加えて、その次数・最高次の係数・定数項を返します。
使い方
根はカンマ区切りのリストで入力します（例：1, -2, 3）。最高次の係数 a を設定してください。最もシンプルなモニック多項式（最高次の係数が1）にしたい場合は 1 を、定数倍したい場合はそれ以外の値を指定します。計算機は各因数 \((x - r)\) を掛け合わせ、最高次の係数を適用したうえで、展開した多項式を表示します。
計算式の解説
因数定理によれば、\(r\) が \(P(x)\) の根であるとき、\((x - r)\) はその因数になります。したがって、根が \(r_1, r_2, \ldots, r_n\) である多項式は $$P(x) = a \prod_{i=1}^{n} \left( x - r_i \right)$$ と表せます。この計算機はこの積を一段階ずつ計算し、\(x\) の降べきの順に展開します。最高次の係数が最高次の項を決め、定数項は \(a\) に「各根の符号を反転した値の積」を掛けたものになります。
計算例
根が 1、−2、3 で \(a = 1\) の場合を考えてみましょう。\((x - 1)(x + 2)(x - 3)\) を掛け合わせます。まず \((x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2\)。次に $$(x^2 + x - 2)(x - 3) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$$ となります。よって \(P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6\) で、これは次数 3 の三次式、定数項は 6 です。
よくある質問
同じ根を重複して入力できますか？ はい。同じ根を2回入力すると重複度が2になり、2乗の因数が生じます。
複素数の根にも対応していますか？ このツールは実数の根を扱います。複素共役のペアを含めたい場合は、それを実数係数の二次式の因数として入力してください。
最高次の係数は何をするものですか？ 多項式全体を縦方向に拡大・縮小するもので、根は変わりません。たとえば \(a = 2\) にすると、すべての係数が2倍になります。
