Что делает этот калькулятор
Калькулятор многочлена по корням решает задачу, обратную поиску нулей: вместо того чтобы вычислять корни многочлена, он собирает сам многочлен, когда его корни уже известны. Вы задаёте набор действительных корней и (по желанию) старший коэффициент, а инструмент возвращает полностью развёрнутый стандартный вид \(P(x)\), а также его степень, старший коэффициент и свободный член.
Как пользоваться
Введите корни через запятую (например, 1, -2, 3). Задайте старший коэффициент a: возьмите 1 для самого простого приведённого многочлена или любое другое значение, чтобы его масштабировать. Калькулятор перемножает множители \((x - r)\), применяет старший коэффициент и выводит развёрнутый многочлен.
Разбор формулы
По теореме Безу (теореме о разложении на множители), если \(r\) — корень \(P(x)\), то \((x - r)\) является его множителем. Поэтому многочлен с корнями \(r_1, r_2, \ldots, r_n\) записывается как $$P(x) = a \cdot (x - r_1)(x - r_2)\cdots(x - r_n).$$ Калькулятор перемножает эти скобки шаг за шагом, раскрывая результат по убывающим степеням \(x\). Старший коэффициент определяет член наивысшей степени, а свободный член равен \(a\), умноженному на произведение корней с противоположными знаками.
Разбор примера
Пусть корни равны 1, −2 и 3, а \(a = 1\). Перемножим \((x - 1)(x + 2)(x - 3)\). Сначала $$(x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2.$$ Затем $$(x^2 + x - 2)(x - 3) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6.$$ Получаем \(P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6\) — кубический многочлен степени 3 со свободным членом 6.
Частые вопросы
Можно ли вводить повторяющиеся корни? Да — если указать корень дважды, он получит кратность два, что даёт множитель в квадрате.
Работает ли калькулятор с комплексными корнями? Инструмент рассчитан на действительные корни. Чтобы учесть пару комплексно-сопряжённых корней, введите вместо них соответствующий действительный квадратный множитель.
Зачем нужен старший коэффициент? Он растягивает весь многочлен по вертикали, не меняя корней: при \(a = 2\) все коэффициенты удваиваются.
