Калькулятор характеристического многочлена

Введите расчет

Размер матрицы 2×2 3×3

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

Для матрицы 2×2 используются только четыре элемента в левом верхнем углу (a11, a12, a21, a22).

Результатов

Характеристический многочлен p(λ)

1λ² -4λ +3

= 0

Коэффициент при λ³	0
Коэффициент при λ²	1
Коэффициент при λ¹	-4
λ⁰ (свободный член)	3
След tr(A)	4
Определитель det(A)	3

Что такое характеристический многочлен?

Характеристический многочлен квадратной матрицы A определяется как \(p(\lambda) = \det(A - \lambda I)\), где I — единичная матрица, а \(\lambda\) — скалярная переменная. Его корни — это в точности собственные значения матрицы A, поэтому он играет ключевую роль в линейной алгебре, теории дифференциальных уравнений, анализе устойчивости и квантовой механике. Этот калькулятор работает с матрицами 2×2 и 3×3 и возвращает коэффициенты многочлена вместе со следом и определителем.

Характеристический многочлен получается из \(\det(A - \lambda I)\) вычитанием \(\lambda\) по диагонали.

Как пользоваться калькулятором

Выберите размер матрицы (2×2 или 3×3), а затем введите каждый элемент в соответствующую ячейку. Для матрицы 2×2 используются только элементы a11, a12, a21 и a22; остальные ячейки не учитываются. Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть многочлен в стандартной форме вместе со всеми коэффициентами.

Формулы

Для матрицы 2×2 результат компактен:

$$p(\lambda) = \lambda^{2} - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A)$$

где \(\operatorname{tr}(A) = \text{a11} + \text{a22}\), а \(\det(A) = \text{a11}\cdot\text{a22} - \text{a12}\cdot\text{a21}\).

Для матрицы 3×3:

$$p(\lambda) = -\lambda^{3} + \operatorname{tr}(A)\lambda^{2} - m\cdot\lambda + \det(A)$$

где \(\operatorname{tr}(A)\) — сумма элементов главной диагонали, а \(m\) — сумма трёх главных миноров 2×2 (миноры, получаемые вычёркиванием соответствующих строки и столбца, проходящих через диагональ).

Реклама

Для матрицы 2×2 многочлен равен \(\lambda^{2} - (\text{след})\lambda + (\text{определитель})\).

Разбор примера

Возьмём матрицу 2×2 [[2, 1], [1, 2]]. След равен \(2 + 2 = 4\), а определитель — \(2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3\). Тогда $$p(\lambda) = \lambda^{2} - 4\lambda + 3,$$ что раскладывается на множители \((\lambda - 1)(\lambda - 3)\) и даёт собственные значения 1 и 3.

Часто задаваемые вопросы

Что представляют собой корни характеристического многочлена? Это собственные значения матрицы.

Почему для матрицы 3×3 старший коэффициент равен −1? Потому что при раскрытии \(\det(A - \lambda I)\) для матрицы нечётного размера появляется множитель \((-\lambda)^{3} = -\lambda^{3}\). Во многих учебниках многочлен умножают на −1, чтобы сделать его приведённым (унитарным); обе формы имеют одни и те же корни.

Работает ли калькулятор с несимметричными матрицами? Да — в формуле используется каждый элемент, поэтому подойдёт любая вещественная матрица 2×2 или 3×3.