Máy Tính Đa Thức Đặc Trưng

Nhập phép tính

Kích thước ma trận 2×2 3×3

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

Với ma trận 2×2, chỉ bốn phần tử ở góc trên bên trái (a11, a12, a21, a22) được sử dụng.

Kết quả

Đa thức đặc trưng p(λ)

1λ² -4λ +3

= 0

Hệ số λ³	0
Hệ số λ²	1
Hệ số λ¹	-4
λ⁰ (hằng số)	3
Vết tr(A)	4
Định thức det(A)	3

Đa thức đặc trưng là gì?

Đa thức đặc trưng của một ma trận vuông A được định nghĩa là \(p(\lambda) = \det(A - \lambda I)\), trong đó I là ma trận đơn vị và \(\lambda\) là một biến vô hướng. Các nghiệm của đa thức này chính là các giá trị riêng (eigenvalue) của A, vì vậy nó đóng vai trò nền tảng trong đại số tuyến tính, phương trình vi phân, phân tích ổn định và cơ học lượng tử. Công cụ này xử lý được cả ma trận 2×2 lẫn 3×3, trả về các hệ số của đa thức cùng với vết (trace) và định thức (determinant).

Đa thức đặc trưng đến từ \(\det(A - \lambda I)\), trừ \(\lambda\) trên đường chéo.

Cách sử dụng máy tính

Trước tiên, hãy chọn kích thước ma trận (2×2 hoặc 3×3), sau đó nhập từng phần tử vào ô tương ứng có nhãn rõ ràng. Với ma trận 2×2, chỉ bốn phần tử a11, a12, a21 và a22 được dùng đến; các ô còn lại sẽ được bỏ qua. Nhấn tính toán để xem đa thức được viết ở dạng chuẩn cùng với từng hệ số.

Các công thức

Với ma trận 2×2, kết quả khá gọn:

$$p(\lambda) = \lambda^{2} - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A)$$

trong đó \(\operatorname{tr}(A) = \text{a11} + \text{a22}\) và \(\det(A) = \text{a11}\cdot\text{a22} - \text{a12}\cdot\text{a21}\).

Với ma trận 3×3:

$$p(\lambda) = -\lambda^{3} + \operatorname{tr}(A)\lambda^{2} - m\cdot\lambda + \det(A)$$

trong đó \(\operatorname{tr}(A)\) là tổng các phần tử trên đường chéo chính, còn \(m\) là tổng của ba định thức con 2×2 chính (các định thức con thu được bằng cách xóa một hàng và một cột tương ứng đi qua đường chéo).

Quảng cáo

Với ma trận 2×2, đa thức là \(\lambda^{2} - (\text{vết})\lambda + (\text{định thức})\).

Ví dụ minh họa

Xét ma trận 2×2 [[2, 1], [1, 2]]. Vết của ma trận là \(2 + 2 = 4\), còn định thức là \(2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3\). Vậy \(p(\lambda) = \lambda^{2} - 4\lambda + 3\), phân tích thành \((\lambda - 1)(\lambda - 3)\), cho ra các giá trị riêng là 1 và 3.

Câu hỏi thường gặp

Nghiệm của đa thức đặc trưng là gì? Đó chính là các giá trị riêng của ma trận.

Vì sao hệ số bậc cao nhất của ma trận 3×3 lại là −1? Bởi vì khi khai triển \(\det(A - \lambda I)\) cho ma trận có kích thước lẻ sẽ xuất hiện thừa số \((-\lambda)^{3} = -\lambda^{3}\). Nhiều tài liệu nhân toàn bộ với −1 để biến đa thức thành dạng monic (hệ số đầu bằng 1); cả hai dạng đều có cùng nghiệm.

Công cụ có dùng được cho ma trận không đối xứng không? Có — công thức sử dụng toàn bộ các phần tử, nên mọi ma trận thực 2×2 hoặc 3×3 đều áp dụng được.