Máy tính bảng đa thức Laguerre là gì?
Công cụ này lập bảng và vẽ đồ thị đa thức Laguerre \(L_n(x)\) trên một dãy giá trị x. Đa thức Laguerre là nghiệm dạng đa thức trực giao của phương trình vi phân \(x\cdot y'' + (1 - x)\cdot y' + n\cdot y = 0\), và xuất hiện rộng rãi trong cơ học lượng tử (phần xuyên tâm của nguyên tử hydro), trong tích phân số (cầu phương Gauss-Laguerre) và trong xử lý tín hiệu. Máy tính này dùng chuẩn hóa tiêu chuẩn với \(L_n(0) = 1\).
Cách sử dụng
Bạn nhập bốn con số: bậc n (một số nguyên không âm), giá trị x ban đầu, bước nhảy giữa các giá trị x liên tiếp và số dòng. Máy tính sẽ tạo dãy $$x = \text{startX},\ \text{startX} + \text{stepX},\ \text{startX} + 2\cdot\text{stepX},\ \ldots$$ rồi tính \(L_n(x)\) tại mỗi điểm, trả về một bảng hai cột kèm đồ thị đường.
Giải thích công thức
Thay vì khai triển đa thức, máy tính dùng công thức truy hồi ba số hạng có tính ổn định số: \(L_0(x) = 1\), \(L_1(x) = 1 - x\), và với \(k \ge 1\) thì $$L_{k+1}(x) = \frac{(2k + 1 - x)\cdot L_k(x) - k\cdot L_{k-1}(x)}{k + 1}.$$ Cách này chỉ tốn \(O(n)\) phép tính cho mỗi điểm. Vài đa thức đầu tiên là \(L_2(x) = 1 - 2x + \frac{x^2}{2}\) và \(L_3(x) = 1 - 3x + 1.5x^2 - \frac{x^3}{6}\).
Ví dụ minh họa
Với \(n = 3\) và \(x = -1\): $$L_3(-1) = 1 + 3 + 1.5 + 0.16667 = 5.66667.$$ Kiểm tra lại bằng công thức truy hồi: \(L_0 = 1\), \(L_1 = 2\), \(L_2 = 3.5\), $$L_3 = \frac{6\cdot 3.5 - 2\cdot 2}{3} = \frac{17}{3} = 5.66667.$$ Tại \(x = 0\), \(L_3(0) = 1\); tại \(x = 1\), \(L_3(1) = -0.66667\).
Câu hỏi thường gặp
Dùng chuẩn hóa nào? Dạng tiêu chuẩn với \(L_n(0) = 1\), không phải dạng chưa chuẩn hóa \(n!\cdot L_n(x)\) mà một số tài liệu sử dụng.
Nếu n = 0 thì sao? \(L_0(x) = 1\) ở mọi nơi, tức là một đường nằm ngang. Với \(n = 1\) bạn nhận được đường thẳng \(1 - x\).
n có thể lớn đến đâu? Công thức truy hồi ổn định với n vừa phải. Khi n rất lớn hoặc \(|x|\) lớn, các giá trị tăng rất nhanh và cuối cùng có thể xảy ra tràn số dấu phẩy động.
