Laguerre Polinomu Tablosu Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

n (derece)

x'in başlangıç değeri

Artış (adım)

Yineleme sayısı (satır)

Sonuç

Laguerre Polynomial L₃(x)

5,666667

value at the first x; 2,333333 at the last x · 51 rows

x	L3(x)
-1	5,666667
-0,9	5,0365
-0,8	4,445333
-0,7	3,892167
-0,6	3,376
-0,5	2,895833
-0,4	2,450667
-0,3	2,0395
-0,2	1,661333
-0,1	1,315167
0	1
0,1	0,714833
0,2	0,458667
0,3	0,2305
0,4	0,029333
0,5	-0,145833
0,6	-0,296
0,7	-0,422167
0,8	-0,525333
0,9	-0,6065
1	-0,666667
1,1	-0,706833
1,2	-0,728
1,3	-0,731167
1,4	-0,717333
1,5	-0,6875
1,6	-0,642667
1,7	-0,583833
1,8	-0,512
1,9	-0,428167
2	-0,333333
2,1	-0,2285
2,2	-0,114667
2,3	0,007167
2,4	0,136
2,5	0,270833
2,6	0,410667
2,7	0,5545
2,8	0,701333
2,9	0,850167
3	1
3,1	1,149833
3,2	1,298667
3,3	1,4455
3,4	1,589333
3,5	1,729167
3,6	1,864
3,7	1,992833
3,8	2,114667
3,9	2,2285
4	2,333333

Laguerre Polinomu Tablosu Hesaplayıcı nedir?

Bu araç, Laguerre polinomu \(L_n(x)\) değerlerini bir x dizisi boyunca tablolaştırır ve grafiğe döker. Laguerre polinomları, \(x\cdot y'' + (1 - x)\cdot y' + n\cdot y = 0\) diferansiyel denkleminin dik (ortogonal) polinom çözümleridir ve kuantum mekaniğinde (hidrojen atomunun radyal kısmı), sayısal integralde (Gauss-Laguerre kuadratürü) ve sinyal işlemede sıkça karşımıza çıkar. Bu hesaplayıcı, \(L_n(0) = 1\) koşulunu sağlayan standart normalizasyonu kullanır.

Bir x aralığında ilk birkaç Laguerre polinomunun L_n(x) eğrileri.

Nasıl kullanılır?

Dört sayı girin: n derecesi (negatif olmayan bir tam sayı), x'in başlangıç değeri, ardışık x değerleri arasındaki artış (adım) ve satır sayısı. Hesaplayıcı \(x = \text{başlangıçX},\ \text{başlangıçX} + \text{adımX},\ \text{başlangıçX} + 2\cdot\text{adımX},\ \dots\) dizisini oluşturur, her noktada \(L_n(x)\) değerini hesaplar ve sonucu iki sütunlu bir tablo ile bir çizgi grafiği olarak verir.

Formülün açıklaması

Hesaplayıcı, polinomu açmak yerine sayısal olarak kararlı üç terimli yineleme bağıntısını kullanır:

$$\left\{ \begin{aligned} L_0(x) &= 1 \\ L_1(x) &= 1 - x \\ L_{k+1}(x) &= \frac{(2k+1-x)\,L_k(x) - k\,L_{k-1}(x)}{k+1} \end{aligned} \right.\quad k \ge 1$$

Bu yaklaşım her nokta için yalnızca \(O(n)\) işlem gerektirir. İlk birkaç polinom şöyledir: \(L_2(x) = 1 - 2x + x^2/2\) ve \(L_3(x) = 1 - 3x + 1.5x^2 - x^3/6\).

Yineleme bağıntısı, L_{k+1}(x)'i önceki iki polinomdan oluşturur.

Çözümlü örnek

n = 3 ve x = -1 için: \(L_3(-1) = 1 + 3 + 1.5 + 0.16667 = 5.66667\). Yineleme bağıntısıyla doğrulayalım: \(L_0 = 1\), \(L_1 = 2\), \(L_2 = 3.5\), $$L_3 = \frac{6\cdot 3.5 - 2\cdot 2}{3} = \frac{17}{3} = 5.66667.$$ x = 0 için \(L_3(0) = 1\); x = 1 için \(L_3(1) = -0.66667\) olur.

Sıkça Sorulan Sorular

Hangi normalizasyon kullanılıyor? \(L_n(0) = 1\) koşulunu sağlayan standart biçim kullanılır; bazı kaynaklarda görülen normalize edilmemiş \(n!\cdot L_n(x)\) biçimi değil.

n = 0 olursa ne olur? \(L_0(x) = 1\) her yerde sabittir; yani yatay, düz bir doğru. n = 1 için ise \(1 - x\) doğrusunu elde edersiniz.

n en fazla ne kadar büyük olabilir? Yineleme bağıntısı orta büyüklükteki n değerleri için kararlıdır. Çok büyük n veya büyük |x| değerlerinde sonuçlar hızla büyür ve zamanla kayan nokta taşması (overflow) yaşanabilir.