लागुएर बहुपद तालिका कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

n (कोटि)

x का प्रारंभिक मान

अंतराल (स्टेप)

पुनरावृत्तियों की संख्या (पंक्तियाँ)

परिणाम

Laguerre Polynomial L₃(x)

5.666667

value at the first x; 2.333333 at the last x · 51 rows

x	L3(x)
-1	5.666667
-0.9	5.0365
-0.8	4.445333
-0.7	3.892167
-0.6	3.376
-0.5	2.895833
-0.4	2.450667
-0.3	2.0395
-0.2	1.661333
-0.1	1.315167
0	1
0.1	0.714833
0.2	0.458667
0.3	0.2305
0.4	0.029333
0.5	-0.145833
0.6	-0.296
0.7	-0.422167
0.8	-0.525333
0.9	-0.6065
1	-0.666667
1.1	-0.706833
1.2	-0.728
1.3	-0.731167
1.4	-0.717333
1.5	-0.6875
1.6	-0.642667
1.7	-0.583833
1.8	-0.512
1.9	-0.428167
2	-0.333333
2.1	-0.2285
2.2	-0.114667
2.3	0.007167
2.4	0.136
2.5	0.270833
2.6	0.410667
2.7	0.5545
2.8	0.701333
2.9	0.850167
3	1
3.1	1.149833
3.2	1.298667
3.3	1.4455
3.4	1.589333
3.5	1.729167
3.6	1.864
3.7	1.992833
3.8	2.114667
3.9	2.2285
4	2.333333

लागुएर बहुपद तालिका कैलकुलेटर क्या है?

यह टूल x के क्रमबद्ध मानों पर लागुएर बहुपद \(L_n(x)\) की तालिका बनाता है और उसका ग्राफ खींचता है। लागुएर बहुपद, अवकल समीकरण \(x\cdot y'' + (1 - x)\cdot y' + n\cdot y = 0\) के लांबकोणीय (ऑर्थोगोनल) बहुपद हल हैं। ये क्वांटम यांत्रिकी (हाइड्रोजन परमाणु के अरीय भाग), संख्यात्मक समाकलन (गॉस-लागुएर क्वाडरेचर) और सिग्नल प्रोसेसिंग में बार-बार सामने आते हैं। यह कैलकुलेटर मानक सामान्यीकरण का उपयोग करता है, जहाँ \(L_n(0) = 1\) होता है।

x की एक श्रेणी पर पहले कुछ लागुएर बहुपदों L_n(x) के वक्र।

इसका उपयोग कैसे करें

चार संख्याएँ दर्ज करें: कोटि n (एक अऋणात्मक पूर्णांक), x का प्रारंभिक मान, क्रमिक x मानों के बीच का अंतराल (स्टेप), और पंक्तियों की संख्या। कैलकुलेटर \(x = \text{startX},\ \text{startX} + \text{stepX},\ \text{startX} + 2\cdot\text{stepX},\ \dots\) उत्पन्न करता है और प्रत्येक पर \(L_n(x)\) का मान निकालकर दो-स्तंभ वाली तालिका तथा एक रेखा ग्राफ देता है।

सूत्र की व्याख्या

बहुपद का विस्तार करने के बजाय, यह कैलकुलेटर संख्यात्मक रूप से स्थिर तीन-पद पुनरावृत्ति (रिकरेंस) का उपयोग करता है:

$$L_0(x) = 1,\quad L_1(x) = 1 - x$$

और \(k \ge 1\) के लिए

$$L_{k+1}(x) = \frac{(2k + 1 - x)\cdot L_k(x) - k\cdot L_{k-1}(x)}{k + 1}$$

इसमें प्रत्येक बिंदु के लिए केवल \(O(n)\) गणना की आवश्यकता होती है। शुरुआती कुछ बहुपद इस प्रकार हैं: \(L_2(x) = 1 - 2x + x^2/2\) और \(L_3(x) = 1 - 3x + 1.5x^2 - x^3/6\)।

पुनरावृत्ति सूत्र पिछले दो बहुपदों से L_{k+1}(x) बनाता है।

हल किया गया उदाहरण

\(n = 3\) और \(x = -1\) के लिए:

$$L_3(-1) = 1 + 3 + 1.5 + 0.16667 = 5.66667$$

पुनरावृत्ति से जाँच: \(L_0 = 1\), \(L_1 = 2\), \(L_2 = 3.5\),

$$L_3 = \frac{6\cdot 3.5 - 2\cdot 2}{3} = \frac{17}{3} = 5.66667$$

\(x = 0\) पर \(L_3(0) = 1\); तथा \(x = 1\) पर \(L_3(1) = -0.66667\)।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

कौन-सा सामान्यीकरण उपयोग होता है? मानक रूप जिसमें \(L_n(0) = 1\) होता है, न कि कुछ संदर्भों में दिखने वाला असामान्यीकृत \(n!\cdot L_n(x)\)।

अगर n = 0 हो तो क्या होगा? तब हर जगह \(L_0(x) = 1\) रहता है, यानी एक सपाट क्षैतिज रेखा। \(n = 1\) के लिए आपको सीधी रेखा \(1 - x\) मिलती है।

n कितना बड़ा हो सकता है? मध्यम मान के n के लिए पुनरावृत्ति स्थिर रहती है। बहुत बड़े n या बड़े \(|x|\) के लिए मान तेज़ी से बढ़ते हैं और अंततः फ्लोटिंग-पॉइंट ओवरफ्लो हो सकता है।