लागुएर बहुपद तालिका कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल x के क्रमबद्ध मानों पर लागुएर बहुपद \(L_n(x)\) की तालिका बनाता है और उसका ग्राफ खींचता है। लागुएर बहुपद, अवकल समीकरण \(x\cdot y'' + (1 - x)\cdot y' + n\cdot y = 0\) के लांबकोणीय (ऑर्थोगोनल) बहुपद हल हैं। ये क्वांटम यांत्रिकी (हाइड्रोजन परमाणु के अरीय भाग), संख्यात्मक समाकलन (गॉस-लागुएर क्वाडरेचर) और सिग्नल प्रोसेसिंग में बार-बार सामने आते हैं। यह कैलकुलेटर मानक सामान्यीकरण का उपयोग करता है, जहाँ \(L_n(0) = 1\) होता है।
इसका उपयोग कैसे करें
चार संख्याएँ दर्ज करें: कोटि n (एक अऋणात्मक पूर्णांक), x का प्रारंभिक मान, क्रमिक x मानों के बीच का अंतराल (स्टेप), और पंक्तियों की संख्या। कैलकुलेटर \(x = \text{startX},\ \text{startX} + \text{stepX},\ \text{startX} + 2\cdot\text{stepX},\ \dots\) उत्पन्न करता है और प्रत्येक पर \(L_n(x)\) का मान निकालकर दो-स्तंभ वाली तालिका तथा एक रेखा ग्राफ देता है।
सूत्र की व्याख्या
बहुपद का विस्तार करने के बजाय, यह कैलकुलेटर संख्यात्मक रूप से स्थिर तीन-पद पुनरावृत्ति (रिकरेंस) का उपयोग करता है:
$$L_0(x) = 1,\quad L_1(x) = 1 - x$$और \(k \ge 1\) के लिए
$$L_{k+1}(x) = \frac{(2k + 1 - x)\cdot L_k(x) - k\cdot L_{k-1}(x)}{k + 1}$$इसमें प्रत्येक बिंदु के लिए केवल \(O(n)\) गणना की आवश्यकता होती है। शुरुआती कुछ बहुपद इस प्रकार हैं: \(L_2(x) = 1 - 2x + x^2/2\) और \(L_3(x) = 1 - 3x + 1.5x^2 - x^3/6\)।
हल किया गया उदाहरण
\(n = 3\) और \(x = -1\) के लिए:
$$L_3(-1) = 1 + 3 + 1.5 + 0.16667 = 5.66667$$पुनरावृत्ति से जाँच: \(L_0 = 1\), \(L_1 = 2\), \(L_2 = 3.5\),
$$L_3 = \frac{6\cdot 3.5 - 2\cdot 2}{3} = \frac{17}{3} = 5.66667$$\(x = 0\) पर \(L_3(0) = 1\); तथा \(x = 1\) पर \(L_3(1) = -0.66667\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
कौन-सा सामान्यीकरण उपयोग होता है? मानक रूप जिसमें \(L_n(0) = 1\) होता है, न कि कुछ संदर्भों में दिखने वाला असामान्यीकृत \(n!\cdot L_n(x)\)।
अगर n = 0 हो तो क्या होगा? तब हर जगह \(L_0(x) = 1\) रहता है, यानी एक सपाट क्षैतिज रेखा। \(n = 1\) के लिए आपको सीधी रेखा \(1 - x\) मिलती है।
n कितना बड़ा हो सकता है? मध्यम मान के n के लिए पुनरावृत्ति स्थिर रहती है। बहुत बड़े n या बड़े \(|x|\) के लिए मान तेज़ी से बढ़ते हैं और अंततः फ्लोटिंग-पॉइंट ओवरफ्लो हो सकता है।
