लीजेंड्र बहुपद P_n(x) टेबल और ग्राफ कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

n (घात)

x का प्रारंभिक मान

x की बढ़ोतरी (step)

पंक्तियों की संख्या (rows)

परिणाम

लीजेंड्र बहुपद P_n(x) टेबल

P₃(x)

101 points computed by Bonnet's recursion

घात n	3
पंक्तियाँ	101
पहला मान P_n(x_0)	-1
अंतिम मान P_n(x_last)	1

x	P_n(x)
-1	-1
-0.98	-0.88298
-0.96	-0.77184
-0.94	-0.66646
-0.92	-0.56672
-0.9	-0.4725
-0.88	-0.38368
-0.86	-0.30014
-0.84	-0.22176
-0.82	-0.14842
-0.8	-0.08
-0.78	-0.01638
-0.76	0.04256
-0.74	0.09694
-0.72	0.14688
-0.7	0.1925
-0.68	0.23392
-0.66	0.27126
-0.64	0.30464
-0.62	0.33418
-0.6	0.36
-0.58	0.38222
-0.56	0.40096
-0.54	0.41634
-0.52	0.42848
-0.5	0.4375
-0.48	0.44352
-0.46	0.44666
-0.44	0.44704
-0.42	0.44478
-0.4	0.44
-0.38	0.43282
-0.36	0.42336
-0.34	0.41174
-0.32	0.39808
-0.3	0.3825
-0.28	0.36512
-0.26	0.34606
-0.24	0.32544
-0.22	0.30338
-0.2	0.28
-0.18	0.25542
-0.16	0.22976
-0.14	0.20314
-0.12	0.17568
-0.1	0.1475
-0.08	0.11872
-0.06	0.08946
-0.04	0.05984
-0.02	0.02998
0	-0
0.02	-0.02998
0.04	-0.05984
0.06	-0.08946
0.08	-0.11872
0.1	-0.1475
0.12	-0.17568
0.14	-0.20314
0.16	-0.22976
0.18	-0.25542
0.2	-0.28
0.22	-0.30338
0.24	-0.32544
0.26	-0.34606
0.28	-0.36512
0.3	-0.3825
0.32	-0.39808
0.34	-0.41174
0.36	-0.42336
0.38	-0.43282
0.4	-0.44
0.42	-0.44478
0.44	-0.44704
0.46	-0.44666
0.48	-0.44352
0.5	-0.4375
0.52	-0.42848
0.54	-0.41634
0.56	-0.40096
0.58	-0.38222
0.6	-0.36
0.62	-0.33418
0.64	-0.30464
0.66	-0.27126
0.68	-0.23392
0.7	-0.1925
0.72	-0.14688
0.74	-0.09694
0.76	-0.04256
0.78	0.01638
0.8	0.08
0.82	0.14842
0.84	0.22176
0.86	0.30014
0.88	0.38368
0.9	0.4725
0.92	0.56672
0.94	0.66646
0.96	0.77184
0.98	0.88298
1	1

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल आपके चुने हुए घात n के लिए लीजेंड्र बहुपद \(P_n(x)\) के मानों की एक टेबल तैयार करता है, जिसे x के क्रमिक मानों पर निकाला जाता है, और साथ ही उससे संबंधित वक्र (curve) भी बनाता है। आप घात, x का प्रारंभिक मान, बढ़ोतरी (step) और कितनी पंक्तियाँ चाहिए — यह तय करते हैं; कैलकुलेटर हर जोड़ी \((x, P_n(x))\) के साथ एक रेखा ग्राफ लौटाता है। लीजेंड्र बहुपद [-1, 1] अंतराल पर लांबकोणीय (orthogonal) बहुपदों का एक प्रसिद्ध परिवार हैं और भौतिकी तथा अनुप्रयुक्त गणित में हर जगह दिखते हैं — लाप्लास समीकरण के हल, बहुध्रुव विस्तार (multipole expansion), गोलीय हार्मोनिक्स और गॉसियन क्वाड्रेचर में।

अंतराल [-1, 1] पर पहले कुछ लीजेंड्र बहुपद \(P_n(x)\)।

इसका उपयोग कैसे करें

n (घात) को एक अऋणात्मक पूर्णांक के रूप में डालें (0, 1, 2, …)। x का प्रारंभिक मान (अक्सर -1), क्रमिक x मानों के बीच बढ़ोतरी (step) (जैसे 0.02), और जितनी पंक्तियाँ (rows) आप चाहते हैं — सभी सेट करें। i-वीं पंक्ति में \(x = \text{startX} + i \times \text{step}\) का प्रयोग होता है। हालाँकि ये बहुपद [-1, 1] पर सबसे अधिक सार्थक हैं, यह सूत्र किसी भी वास्तविक x के लिए काम करता है — ध्यान दें कि इस अंतराल के बाहर मान बहुत तेज़ी से बढ़ते हैं।

सूत्र की व्याख्या

बंद-रूप (closed form) सूत्रों को विस्तृत करने के बजाय, यह कैलकुलेटर संख्यात्मक स्थिरता के लिए बॉनेट के पुनरावृत्ति सूत्र का उपयोग करता है: \(P_0(x) = 1\) और \(P_1(x) = x\) से शुरुआत करें, फिर $$P_{k+1}(x) = \frac{(2k+1)\cdot x\cdot P_k(x) - k\cdot P_{k-1}(x)}{k+1}$$ को दोहराएं। पहले कुछ बंद-रूप सूत्र हैं \(P_2 = \frac{3x^2 - 1}{2}\), \(P_3 = \frac{5x^3 - 3x}{2}\), और \(P_4 = \frac{35x^4 - 30x^2 + 3}{8}\)।

बोनट पुनरावृत्ति प्रत्येक बहुपद को पिछले दो से बनाती है।

हल किया हुआ उदाहरण

n = 3 और x = 0.5 के लिए: \(P_0 = 1\), \(P_1 = 0.5\)। फिर $$P_2 = \frac{3\cdot 0.5\cdot 0.5 - 1}{2} = -0.125,$$ और $$P_3 = \frac{5\cdot 0.5\cdot (-0.125) - 2\cdot 0.5}{3} = \frac{-1.3125}{3} = -0.4375.$$ बंद-रूप सूत्र \(\frac{5x^3 - 3x}{2}\) भी वही परिणाम देता है, जिससे पुनरावृत्ति सूत्र की पुष्टि हो जाती है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

n = 0 का परिणाम क्या होता है? हर x के लिए एक स्थिर मान 1, इसलिए ग्राफ एक सपाट क्षैतिज रेखा होता है। अंतिम-बिंदु (endpoint) मान क्या होते हैं? हर लीजेंड्र बहुपद \(P_n(1) = 1\) और \(P_n(-1) = (-1)^n\) को संतुष्ट करता है। स्पष्ट सूत्रों के बजाय पुनरावृत्ति का उपयोग क्यों? तीन-पद वाला पुनरावृत्ति सूत्र किसी भी घात के लिए तेज़ और संख्यात्मक रूप से स्थिर होता है, और उच्च-घात स्पष्ट बहुपदों में होने वाली रद्दीकरण (cancellation) त्रुटियों से बचाता है।