르장드르 다항식 Pₙ(x) 표·그래프 계산기

계산 입력

n (차수)

x의 초깃값

x의 증가 폭(스텝)

반복 횟수(행 수)

결과

르장드르 다항식 Pₙ(x) 표

P₃(x)

101 points computed by Bonnet's recursion

차수 n	3
행 수	101
첫 값 Pₙ(x₀)	-1
마지막 값 Pₙ(x_last)	1

x	Pₙ(x)
-1	-1
-0.98	-0.88298
-0.96	-0.77184
-0.94	-0.66646
-0.92	-0.56672
-0.9	-0.4725
-0.88	-0.38368
-0.86	-0.30014
-0.84	-0.22176
-0.82	-0.14842
-0.8	-0.08
-0.78	-0.01638
-0.76	0.04256
-0.74	0.09694
-0.72	0.14688
-0.7	0.1925
-0.68	0.23392
-0.66	0.27126
-0.64	0.30464
-0.62	0.33418
-0.6	0.36
-0.58	0.38222
-0.56	0.40096
-0.54	0.41634
-0.52	0.42848
-0.5	0.4375
-0.48	0.44352
-0.46	0.44666
-0.44	0.44704
-0.42	0.44478
-0.4	0.44
-0.38	0.43282
-0.36	0.42336
-0.34	0.41174
-0.32	0.39808
-0.3	0.3825
-0.28	0.36512
-0.26	0.34606
-0.24	0.32544
-0.22	0.30338
-0.2	0.28
-0.18	0.25542
-0.16	0.22976
-0.14	0.20314
-0.12	0.17568
-0.1	0.1475
-0.08	0.11872
-0.06	0.08946
-0.04	0.05984
-0.02	0.02998
0	-0
0.02	-0.02998
0.04	-0.05984
0.06	-0.08946
0.08	-0.11872
0.1	-0.1475
0.12	-0.17568
0.14	-0.20314
0.16	-0.22976
0.18	-0.25542
0.2	-0.28
0.22	-0.30338
0.24	-0.32544
0.26	-0.34606
0.28	-0.36512
0.3	-0.3825
0.32	-0.39808
0.34	-0.41174
0.36	-0.42336
0.38	-0.43282
0.4	-0.44
0.42	-0.44478
0.44	-0.44704
0.46	-0.44666
0.48	-0.44352
0.5	-0.4375
0.52	-0.42848
0.54	-0.41634
0.56	-0.40096
0.58	-0.38222
0.6	-0.36
0.62	-0.33418
0.64	-0.30464
0.66	-0.27126
0.68	-0.23392
0.7	-0.1925
0.72	-0.14688
0.74	-0.09694
0.76	-0.04256
0.78	0.01638
0.8	0.08
0.82	0.14842
0.84	0.22176
0.86	0.30014
0.88	0.38368
0.9	0.4725
0.92	0.56672
0.94	0.66646
0.96	0.77184
0.98	0.88298
1	1

이 계산기의 기능

이 도구는 선택한 차수 n에 대한 르장드르 다항식 \(P_n(x)\)의 값을 일련의 x 값에서 계산해 표로 만들고, 해당 곡선을 그려 줍니다. 차수, 시작 x 값, 증가 폭(스텝), 원하는 행 수를 입력하면 각 \((x, P_n(x))\) 쌍과 함께 선 그래프를 돌려줍니다. 르장드르 다항식은 구간 [-1, 1]에서 정의되는 대표적인 직교 다항식 계열로, 물리학과 응용수학 전반에 등장합니다. 라플라스 방정식의 해, 다중극 전개, 구면 조화 함수, 가우스 구적법 등에서 폭넓게 쓰입니다.

구간 [-1, 1]에서 처음 몇 개의 르장드르 다항식 P_n(x).

사용 방법

n(차수)는 0 이상의 정수(0, 1, 2, …)로 입력합니다. x의 초깃값(보통 -1), 연속한 x 값 사이의 증가 폭(스텝)(예: 0.02), 그리고 생성할 반복 횟수(행 수)를 지정하세요. i번째 행은 \(x = \text{시작 } x + i \times \text{스텝}\)으로 계산됩니다. 르장드르 다항식은 [-1, 1] 구간에서 가장 의미가 있지만, 공식 자체는 모든 실수 x에서 성립합니다. 다만 이 구간을 벗어나면 값의 크기가 급격히 커진다는 점에 유의하세요.

공식 설명

이 계산기는 닫힌 형태의 식을 전개하는 대신, 수치적 안정성을 위해 보네(Bonnet)의 점화식을 사용합니다. 먼저 \(P_0(x) = 1\), \(P_1(x) = x\)에서 출발한 뒤 다음을 반복합니다.

$$P_{k+1}(x) = \frac{(2k+1)\cdot x\cdot P_k(x) - k\cdot P_{k-1}(x)}{k+1}$$

처음 몇 개의 닫힌 형태 식은 \(P_2 = \frac{3x^2 - 1}{2}\), \(P_3 = \frac{5x^3 - 3x}{2}\), \(P_4 = \frac{35x^4 - 30x^2 + 3}{8}\)입니다.

보네 점화식은 이전 두 다항식으로 각 다항식을 만든다.

계산 예시

n = 3, x = 0.5인 경우: \(P_0 = 1\), \(P_1 = 0.5\)입니다. 이어서 $$P_2 = \frac{3\cdot 0.5\cdot 0.5 - 1}{2} = -0.125$$ $$P_3 = \frac{5\cdot 0.5\cdot(-0.125) - 2\cdot 0.5}{3} = \frac{-1.3125}{3} = -0.4375$$ 가 됩니다. 닫힌 형태 식 \(\frac{5x^3 - 3x}{2}\)로 계산해도 같은 값이 나와 점화식 결과가 일치함을 확인할 수 있습니다.

자주 묻는 질문

n = 0이면 어떤 값이 나오나요? 모든 x에 대해 상수 1이 나오므로 그래프는 수평으로 평평한 직선이 됩니다. 양 끝점 값은 얼마인가요? 모든 르장드르 다항식은 \(P_n(1) = 1\), \(P_n(-1) = (-1)^n\)을 만족합니다. 왜 명시적 공식 대신 점화식을 사용하나요? 3항 점화식은 임의의 차수에 대해 빠르고 수치적으로 안정적이어서, 고차 명시적 다항식에서 발생하는 자릿수 소실(cancellation) 오차를 피할 수 있기 때문입니다.