這個計算器的用途
這個工具會針對你選定的階數 \(n\)，計算勒壤得多項式 \(P_n(x)\) 在一系列 \(x\) 值上的數值表，並繪出對應的曲線。你只要輸入階數、起始 \(x\) 值、每次遞增的步長，以及要產生的列數，計算器就會回傳每一組 \((x, P_n(x))\) 數值，並附上折線圖。勒壤得多項式是定義在區間 [-1, 1] 上的一族經典正交多項式，廣泛出現在物理與應用數學中——例如拉普拉斯方程的解、多極展開、球諧函數，以及高斯積分（Gaussian quadrature）。
使用方式
在 n（階數）欄位填入非負整數（0、1、2、…）。設定 x 的起始值（通常為 -1）、相鄰 x 值之間的 遞增步長（例如 0.02），以及你想產生的 列數（重複次數）。第 i 列使用的是 \(x = \text{起始值} + i \times \text{步長}\)。雖然這些多項式在 [-1, 1] 區間內最具意義，但公式對任意實數 \(x\) 都成立——只要注意一旦超出該區間，數值大小會迅速暴增。
公式說明
為了數值穩定，計算器不採用展開後的封閉式，而是使用 Bonnet 遞迴式：先令 \(P_0(x) = 1\)、\(P_1(x) = x\)，再依序疊代
$$P_{k+1}(x) = \frac{(2k+1)\cdot x\cdot P_k(x) - k\cdot P_{k-1}(x)}{k+1}$$前幾項的封閉式為 \(P_2 = \frac{3x^2 - 1}{2}\)、\(P_3 = \frac{5x^3 - 3x}{2}\)，以及 \(P_4 = \frac{35x^4 - 30x^2 + 3}{8}\)。
實際範例
以 \(n = 3\)、\(x = 0.5\) 為例：\(P_0 = 1\)、\(P_1 = 0.5\)。接著
$$P_2 = \frac{3\cdot 0.5\cdot 0.5 - 1}{2} = -0.125$$而
$$P_3 = \frac{5\cdot 0.5\cdot(-0.125) - 2\cdot 0.5}{3} = \frac{-1.3125}{3} = -0.4375$$代入封閉式 \(\frac{5x^3 - 3x}{2}\) 也會得到相同結果，驗證遞迴式正確無誤。
常見問題
n = 0 會得到什麼？對所有 \(x\) 都是常數 1，因此圖形是一條水平的直線。端點的數值是多少？每個勒壤得多項式都滿足 \(P_n(1) = 1\) 與 \(P_n(-1) = (-1)^n\)。為什麼用遞迴式而不用明確的展開式？三項遞迴關係對任意階數都快速且數值穩定，可避免高階展開式所產生的相消誤差。
