這個計算器能做什麼
本工具會針對單一固定階數 \(n\)，逐一計算物理學家慣例的埃爾米特多項式 \(H_n(x)\) 在一連串 \(x\) 值上的結果，並輸出 \((x, H_n(x))\) 數值表，同時繪製出曲線。埃爾米特多項式在量子力學（諧振子的能量本徵態）、機率論，以及數值分析（高斯—埃爾米特積分）中都廣泛出現。
使用方式
請輸入多項式的階數 \(n\)（非負整數，例如 0、1、2、3……）、\(x\) 的起始值、遞增量（相鄰兩個 \(x\) 值之間的間距），以及產生筆數（要計算多少列）。第 \(i\) 個 \(x\) 值為 \(x_i = \text{起始值} + i \cdot \text{間距}\)，其中 \(i\) 從 0 到 筆數 \(- 1\)。遞增量為負值會產生遞減的數值表；遞增量為 0 則會重複出現同一個 \(x\)。
公式說明
這裡採用的是物理學家慣例的埃爾米特多項式，滿足微分方程 \(y'' - 2x \cdot y' + 2n \cdot y = 0\)，並由母函數 \(\exp(2xt - t^2)\) 產生。我們使用數值穩定的三項遞迴關係來計算： $$H_0(x) = 1, \quad H_1(x) = 2x, \quad H_{k+1}(x) = 2x \cdot H_k(x) - 2k \cdot H_{k-1}(x)$$ 可避免階乘造成的數值溢位。請注意，這並非機率學家慣例的 \(He_n(x)\)，後者的遞迴式為 \(He_{k+1} = x \cdot He_k - k \cdot He_{k-1}\)。
實際範例
以 \(n = 3\) 為例，由遞迴式可得 \(H_2(x) = 4x^2 - 2\)、\(H_3(x) = 8x^3 - 12x\)。當 \(x = -2.5\) 時： $$8(-15.625) + 30 = -95$$ 當 \(x = 0\) 時為 0；當 \(x = 2.5\) 時為 \(+95\)。若設定起始值 \(= -2.5\)、間距 \(= 0.1\)、筆數 \(= 51\)，數值表將從 \((-2.5, -95)\) 經過 \((0, 0)\)，一路延伸到 \((2.5, 95)\)，描繪出一條具奇對稱性、形似三次曲線的圖形。
常見問題
採用哪一種慣例？採用物理學家慣例 \(H_n\)，其中 \(H_1(x) = 2x\)。前幾項為：\(H_0=1\)、\(H_1=2x\)、\(H_2=4x^2-2\)、\(H_4=16x^4-48x^2+12\)、\(H_5=32x^5-160x^3+120x\)。
如果 \(n = 0\) 會怎樣？對任意 \(x\)，\(H_0(x)\) 都等於 1，因此數值表與圖形會是一條高度為 1 的水平線。
為什麼 \(n\) 很大時數值會暴增？當階數與 \(|x|\) 增大時，埃爾米特多項式的成長速度極快；雙精度浮點數在約 \(1\text{e}308\) 以上便會溢位。建議將 \(n\) 與 \(x\) 的範圍控制在合理區間，才能畫出有意義的圖形。
