什麼是拋物線弓形？
拋物線弓形（又稱拋物拱）是由一條拋物線與橫切它的直線弦所圍成的平面區域。想像一條開口朝下、頂點在上方的拋物線，弦就是連接拋物線與這條直線兩個交點的線段。這個形狀對稱於通過頂點的對稱軸。它在工程與設計領域隨處可見——拱橋、懸索的纜線曲線、反射碟，以及建築上的拱形結構，都依循拋物線的曲線而成。
如何使用本計算器
只要輸入兩個量測值，可使用任何一致的長度單位（公釐、公分、公尺、英吋或英尺皆可——只要前後保持一致即可）：
高度 a——從弦到拋物線頂點（最高點）的垂直距離。
弦長 b——弦上兩個端點之間的直線距離。
計算器會回傳所圍面積 S（單位為你所用長度單位的平方）、僅曲線邊界的弧長 L，以及完整周長 \(L + b\)（曲線加上弦）。
公式解析
面積源自阿基米德的經典結果：拋物線弓形恰好填滿其外接矩形的三分之二，即 $$S = \frac{2}{3}\cdot a\cdot b$$。弧長則是對拋物線曲線積分而得。先定義輔助值 \(s = \sqrt{b^{2} + 16a^{2}}\)；接著 $$L = \frac{1}{2}\cdot s + \frac{b^{2}}{8a}\cdot \ln\!\left(\frac{4a + s}{b}\right)$$，其中 ln 為自然對數。式中的 \(4a\) 項反映了拋物線在每個端點的斜率為 \(\frac{4a}{b}\)。
計算範例
設 \(a = 2\)、\(b = 1\)。面積：$$S = \frac{2}{3}\cdot 2\cdot 1 = 1.33333$$至於弧長，\(s = \sqrt{1 + 16\cdot 4} = \sqrt{65} = 8.06226\)。接著 \(\frac{1}{2}\cdot s = 4.03113\)，\(\frac{b^{2}}{8a} = \frac{1}{16} = 0.0625\)，而 \(\frac{4a + s}{b} = 16.06226\)，其 \(\ln = 2.77636\)，得到第二項為 \(0.17352\)。因此 $$L = 4.03113 + 0.17352 = 4.20465$$
常見問題
L 是否包含直線弦？不包含——L 只是拋物線曲線的長度。弓形的完整周長為 \(L + b\)，計算結果中也會一併顯示。
如果高度為零會怎樣？此時弓形退化成一條直線：面積為 0，弧長也縮減為弦長 b。
該使用什麼單位？任何單一長度單位皆可。面積會以該單位的平方表示，長度則以該單位表示，因此公式可直接套用於輸入的數值。
