Hình viên phân parabol là gì?
Hình viên phân parabol, hay còn gọi là vòm parabol, là phần mặt phẳng được giới hạn bởi một đường parabol và một dây cung thẳng cắt ngang qua nó. Hãy hình dung một parabol mở xuống dưới với đỉnh nằm phía trên; dây cung chính là đoạn thẳng nối hai điểm mà parabol gặp nó. Hình này đối xứng qua trục đi qua đỉnh. Nó xuất hiện rất thường xuyên trong kỹ thuật và thiết kế — cầu vòm, đường cong của dây cáp treo, chảo phản xạ và các vòm kiến trúc đều tuân theo đường cong parabol.
Cách sử dụng công cụ này
Bạn chỉ cần nhập hai số đo theo cùng một đơn vị độ dài (milimét, xăngtimét, mét, inch hay feet — miễn là thống nhất một đơn vị):
Chiều cao a — khoảng cách vuông góc từ dây cung đến đỉnh (điểm cao nhất) của parabol.
Độ dài dây cung b — khoảng cách theo đường thẳng giữa hai điểm đầu mút trên dây cung.
Công cụ sẽ trả về diện tích S của vùng được bao quanh (theo đơn vị độ dài bình phương), độ dài cung L chỉ tính riêng đường biên cong, và toàn bộ chu vi L + b (đường cong cộng dây cung).
Giải thích các công thức
Diện tích bắt nguồn từ kết quả kinh điển của Archimedes: một hình viên phân parabol chiếm đúng hai phần ba hình chữ nhật bao quanh nó:
$$A = \frac{2}{3}\,\text{Height }a\cdot\text{Chord }b$$Độ dài cung được tính bằng cách tích phân đường cong parabol. Ta đặt giá trị trung gian \(s = \sqrt{b^{2} + 16a^{2}}\); khi đó
$$L = \frac{1}{2}\,s + \frac{b^{2}}{8a}\cdot\ln\!\left(\frac{4a + s}{b}\right)$$trong đó \(\ln\) là logarit tự nhiên. Số hạng \(4a\) phản ánh việc độ dốc của parabol tại mỗi điểm đầu mút bằng \(4a/b\).
Ví dụ minh họa
Lấy \(a = 2\) và \(b = 1\). Diện tích:
$$S = \frac{2}{3}\cdot 2\cdot 1 = 1.33333$$Để tính độ dài cung, \(s = \sqrt{1 + 16\cdot 4} = \sqrt{65} = 8.06226\). Khi đó \(\frac{1}{2}\cdot s = 4.03113\), \(\frac{b^{2}}{8a} = \frac{1}{16} = 0.0625\), và \(\frac{4a + s}{b} = 16.06226\) với \(\ln = 2.77636\), cho số hạng thứ hai bằng \(0.17352\). Vậy
$$L = 4.03113 + 0.17352 = 4.20465$$Câu hỏi thường gặp
L có bao gồm cả dây cung thẳng không? Không — L chỉ là độ dài của đường cong parabol mà thôi. Toàn bộ chu vi của hình viên phân là \(L + b\), giá trị này cũng được hiển thị.
Nếu chiều cao bằng không thì sao? Hình viên phân suy biến thành một đường thẳng: diện tích bằng 0 và độ dài cung thu về đúng bằng độ dài dây cung b.
Tôi nên dùng đơn vị nào? Bất kỳ một đơn vị độ dài nào cũng được. Diện tích sẽ ra theo đơn vị đó bình phương và độ dài theo đúng đơn vị đó, nên các công thức áp dụng trực tiếp vào những con số bạn nhập vào.
