Parabolik segment nedir?
Parabolik segment, parabolik kemer olarak da bilinen, bir parabol ile onu kesen düz bir kirişle sınırlanmış düzlemsel bölgedir. Tepe noktası yukarıda olacak şekilde aşağı doğru açılan bir parabol düşünün; kiriş, parabolün bu doğruyla kesiştiği iki noktayı birleştiren çizgidir. Şekil, tepe noktasından geçen eksene göre simetriktir. Mühendislik ve tasarımda sıkça karşımıza çıkar — kemerli köprüler, asma köprü kablo profilleri, reflektör çanakları ve mimari kemerlerin hepsi parabolik eğrileri izler.
Bu hesaplayıcı nasıl kullanılır?
Tutarlı tek bir uzunluk biriminde yalnızca iki ölçü girin (milimetre, santimetre, metre, inç veya fit — yeter ki hepsi aynı birim olsun):
Yükseklik a — kirişten parabolün tepe noktasına (apeks) olan dik mesafe.
Kiriş uzunluğu b — kiriş üzerindeki iki uç nokta arasındaki düz çizgi mesafesi.
Hesaplayıcı; kapalı alanı S (uzunluk biriminizin karesi cinsinden), yalnızca eğrisel sınırın yay uzunluğu L değerini ve toplam çevre \(L + b\) değerini (eğri artı kiriş) verir.
Formüllerin açıklaması
Alan, Arşimet'in klasik sonucundan elde edilir: bir parabolik segment, kendisini çevreleyen dikdörtgenin tam olarak üçte ikisini doldurur:
$$S = \frac{2}{3}\,a\cdot b$$Yay uzunluğu ise parabolün eğrisinin integrali alınarak bulunur. Yardımcı bir değer tanımlayalım: \(s = \sqrt{b^{2} + 16a^{2}}\); o zaman
$$L = \frac{1}{2}\,s + \frac{b^{2}}{8a}\,\ln\!\left(\frac{4a + s}{b}\right)$$olur; burada ln doğal logaritmadır. \(4a\) terimi, parabolün her bir uç noktadaki eğiminin \(4a/b\) olduğunu yansıtır.
Çözümlü örnek
\(a = 2\) ve \(b = 1\) alalım. Alan:
$$S = \frac{2}{3}\cdot 2\cdot 1 = 1{,}33333$$Yay uzunluğu için \(s = \sqrt{1 + 16\cdot 4} = \sqrt{65} = 8{,}06226\). Ardından \(\frac{1}{2}\,s = 4{,}03113\), \(\frac{b^{2}}{8a} = \frac{1}{16} = 0{,}0625\) ve \(\frac{4a + s}{b} = 16{,}06226\) olur; \(\ln = 2{,}77636\) olunca ikinci terim \(0{,}17352\) çıkar. Böylece
$$L = 4{,}03113 + 0{,}17352 = 4{,}20465$$bulunur.
Sıkça sorulan sorular
L, düz kirişi de içerir mi? Hayır — L yalnızca eğrisel parabolün uzunluğudur. Segmentin toplam çevresi \(L + b\)'dir ve bu değer de ayrıca gösterilir.
Yükseklik sıfır olursa ne olur? Segment düz bir çizgiye dönüşür: alan 0 olur ve yay uzunluğu kiriş uzunluğu b'ye iner.
Hangi birimleri kullanmalıyım? Herhangi tek bir uzunluk birimi. Alan o birimin karesi, uzunluklar ise o birim cinsinden çıkar; dolayısıyla formüller girdiğiniz sayılara doğrudan uygulanır.
