परवलयिक खंड क्या होता है?
परवलयिक खंड, जिसे परवलयिक मेहराब भी कहते हैं, वह सपाट क्षेत्र है जो एक परवलय और उसे काटती हुई एक सीधी जीवा (chord) के बीच घिरा होता है। एक ऐसी परवलय की कल्पना कीजिए जो नीचे की ओर खुलती है और जिसका शीर्ष (vertex) सबसे ऊपर है; जीवा वह रेखा है जो उन दो बिंदुओं को जोड़ती है जहाँ परवलय इससे मिलती है। यह आकृति शीर्ष से गुज़रने वाली अक्ष के सापेक्ष सममित (symmetric) होती है। इंजीनियरिंग और डिज़ाइन में यह बार-बार दिखाई देती है — मेहराबदार पुल, झूलते केबल की रूपरेखा, परावर्तक डिश और स्थापत्य कला के मेहराब, ये सभी परवलयिक वक्र का अनुसरण करते हैं।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
किसी भी एक समान लंबाई इकाई में बस दो माप दर्ज करें (मिलीमीटर, सेंटीमीटर, मीटर, इंच या फुट — बस यह ध्यान रखें कि वे एक जैसी हों):
ऊँचाई a — जीवा से परवलय के शीर्ष (apex) तक की लंबवत दूरी।
जीवा लंबाई b — जीवा पर मौजूद दोनों सिरों के बीच की सीधी रेखीय दूरी।
कैलकुलेटर घिरा हुआ क्षेत्रफल S (आपकी लंबाई इकाई के वर्ग में), केवल घुमावदार सीमा की चाप लंबाई L, और पूरा परिमाप L + b (वक्र और जीवा मिलाकर) बताता है।
सूत्रों की व्याख्या
क्षेत्रफल आर्किमिडीज़ के उस प्रसिद्ध परिणाम से मिलता है जिसके अनुसार परवलयिक खंड अपने आसपास के आयत का ठीक दो-तिहाई हिस्सा घेरता है: $$S = \frac{2}{3}\cdot a\cdot b$$ चाप लंबाई परवलय के वक्र का समाकलन (integration) करके निकलती है। एक सहायक मान परिभाषित करें \(s = \sqrt{b^{2} + 16a^{2}}\); तब $$L = \frac{1}{2}\cdot s + \frac{b^{2}}{8a}\cdot \ln\!\left(\frac{4a + s}{b}\right)$$ जहाँ \(\ln\) प्राकृतिक लगुणक (natural logarithm) है। यहाँ \(4a\) पद यह दर्शाता है कि प्रत्येक सिरे पर परवलय का ढलान \(4a/b\) होता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(a = 2\) और \(b = 1\)। क्षेत्रफल: $$S = \frac{2}{3}\cdot 2\cdot 1 = 1.33333$$ चाप लंबाई के लिए, $$s = \sqrt{1 + 16\cdot 4} = \sqrt{65} = 8.06226$$ फिर \(\frac{1}{2}\cdot s = 4.03113\), \(\frac{b^{2}}{8a} = \frac{1}{16} = 0.0625\), और \(\frac{4a + s}{b} = 16.06226\) जिसका \(\ln = 2.77636\), यानी दूसरा पद \(0.17352\)। तो $$L = 4.03113 + 0.17352 = 4.20465$$
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या L में सीधी जीवा भी शामिल है? नहीं — L केवल घुमावदार परवलय की लंबाई है। खंड का पूरा परिमाप L + b होता है, जो अलग से भी दिखाया जाता है।
अगर ऊँचाई शून्य हो तो क्या होगा? खंड एक सपाट रेखा में बदल जाता है: क्षेत्रफल 0 हो जाता है और चाप लंबाई घटकर जीवा लंबाई b रह जाती है।
मुझे कौन-सी इकाई इस्तेमाल करनी चाहिए? कोई भी एक समान लंबाई इकाई। क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में और लंबाइयाँ उसी इकाई में आती हैं, इसलिए सूत्र सीधे दर्ज की गई संख्याओं पर लागू होते हैं।
