आर्क की लंबाई क्या है?
आर्क की लंबाई वृत्त के घुमावदार किनारे पर दो बिंदुओं के बीच नापी जाने वाली दूरी है। यह दो बातों पर निर्भर करती है: वृत्त कितना बड़ा है (उसकी त्रिज्या) और कटा हुआ टुकड़ा कितना चौड़ा है (केंद्रीय कोण)। यह कैलकुलेटर किसी भी वृत्त और किसी भी कोण के लिए काम करता है, और आर्क की लंबाई उसी इकाई में देता है जिसमें आप त्रिज्या डालते हैं।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
वृत्त की त्रिज्या और वह केंद्रीय कोण दर्ज करें जो आर्क बनाता है। चुनें कि कोण डिग्री में है या रेडियन में, फिर आर्क की लंबाई पढ़ लें। यह टूल दूसरी इकाई में बराबर कोण, पूरी परिधि, और आर्क के दोनों सिरों को जोड़ने वाली सीधी जीवा (chord) भी बताता है।
फॉर्मूला समझें
जब कोण θ रेडियन में हो, तो आर्क की लंबाई बस \(s = r \times \theta\) होती है। यह इसलिए काम करता है क्योंकि एक रेडियन उस कोण के रूप में परिभाषित है जो त्रिज्या के बराबर आर्क काटता है। जब कोण डिग्री में हो, तो आर्क को पूरे वृत्त के एक अंश के रूप में मानकर बदलें: \(s = 2\pi r \times (\theta° / 360)\)। दोनों रूप एक जैसे उत्तर देते हैं, क्योंकि 360° = 2π रेडियन।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए किसी वृत्त की त्रिज्या 5 इकाई है और केंद्रीय कोण 90° है। पूरी परिधि $$2\pi \times 5 \approx 31.4159$$ होगी। नब्बे डिग्री वृत्त का एक चौथाई है, इसलिए आर्क की लंबाई $$31.4159 \times (90/360) = 7.85398$$ इकाई होगी। इसी तरह, \(90° = \pi/2 \approx 1.5708\) रेडियन, और \(5 \times 1.5708 = 7.85398\)।
मानक कोणों के लिए सामान्य चाप लंबाई
एक वृत्त की चाप लंबाई सूत्र \(L = r\theta\) के साथ पाई जाती है, जहां \(\theta\) केंद्रीय कोण है रेडियन में। यदि आपका कोण डिग्री में है, तो पहले इसे \(\theta_{rad} = \theta_{deg} \times \frac{\pi}{180}\) के साथ परिवर्तित करें। क्योंकि पूरा वृत्त (360°) की परिधि \(2\pi r\) है, प्रत्येक कोण उस परिधि का एक सरल अंश कवर करता है।
नीचे दी गई तालिका सबसे सामान्य कोणों, उनके रेडियन समकक्ष, परिधि के अंश के रूप में व्यक्त की गई चाप लंबाई, और एक इकाई वृत्त (\(r=1\)) के लिए वास्तविक चाप लंबाई को सूचीबद्ध करती है।
| कोण (डिग्री) | कोण (रेडियन) | वृत्त का अंश | चाप लंबाई (सामान्य) | चाप लंबाई, r = 1 |
|---|---|---|---|---|
| 30° | \(\pi/6\) | 1/12 | \(\pi r/6\) | 0.5236 |
| 45° | \(\pi/4\) | 1/8 | \(\pi r/4\) | 0.7854 |
| 60° | \(\pi/3\) | 1/6 | \(\pi r/3\) | 1.0472 |
| 90° | \(\pi/2\) | 1/4 | \(\pi r/2\) | 1.5708 |
| 120° | \(2\pi/3\) | 1/3 | \(2\pi r/3\) | 2.0944 |
| 180° | \(\pi\) | 1/2 | \(\pi r\) | 3.1416 |
| 270° | \(3\pi/2\) | 3/4 | \(3\pi r/2\) | 4.7124 |
| 360° | \(2\pi\) | 1 (पूरा वृत्त) | \(2\pi r\) | 6.2832 |
किसी भी अन्य त्रिज्या के लिए, \(r=1\) मान को अपनी त्रिज्या से गुणा करें। उदाहरण के लिए, 5 की त्रिज्या वाले वृत्त पर 90° चाप की लंबाई \(5 \times 1.5708 = 7.854\) है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
उत्तर किस इकाई में आता है? आर्क की लंबाई उसी इकाई में आती है जिसमें त्रिज्या होती है — सेंटीमीटर डालें तो उत्तर सेंटीमीटर में मिलेगा।
डिग्री को रेडियन में कैसे बदलें? डिग्री को π/180 से गुणा करें। यानी \(180° = \pi \approx 3.14159\) रेडियन।
जीवा की लंबाई क्या है? जीवा आर्क के दोनों सिरों के बीच की सीधी रेखा है, जिसे \(2r \cdot \sin(\theta/2)\) से निकाला जाता है। यह हमेशा आर्क से छोटी होती है।
