यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल त्रिभुज की क्लासिक SAS (भुजा-कोण-भुजा) समस्या हल करता है: जब आपको किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण पता हो, तो यह कोसाइन नियम का उपयोग करके तीसरी भुजा की लंबाई निकाल देता है। इतना ही नहीं, यह त्रिभुज का परिमाप और क्षेत्रफल भी बता देता है, जिससे एक ही गणना में आपको पूरी आकृति की जानकारी मिल जाती है।
इसका उपयोग कैसे करें
दोनों ज्ञात भुजाएँ a और b दर्ज करें — किसी भी एक ही इकाई में (सेमी, मीटर, इंच — बस इकाई एक समान रखें)। इसके बाद बीच का कोण C डिग्री में भरें — यह वह कोण है जहाँ भुजाएँ a और b मिलती हैं, और जो उस भुजा के सामने होता है जिसे आप निकालना चाहते हैं। गणना करें पर क्लिक करते ही तीसरी भुजा c, परिमाप और क्षेत्रफल तुरंत दिखाई देंगे।
सूत्र की व्याख्या
कोसाइन नियम, पाइथागोरस प्रमेय को किसी भी त्रिभुज तक सामान्यीकृत कर देता है:
$$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2ab\cdot\cos C}$$
जब \(C = 90°\) होता है, तब \(\cos C = 0\) हो जाता है, इसलिए सूत्र सिमटकर \(c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) बन जाता है — यानी ठीक पाइथागोरस प्रमेय। जैसे-जैसे C, 90° से बड़ा होता है, \(\cos C\) ऋणात्मक हो जाता है और c लंबी हो जाती है; और जैसे-जैसे C, 0° की ओर घटता है, c घटकर \(|a - b|\) की ओर पहुँचने लगती है। क्षेत्रफल इसके सहायक सूत्र \(\text{क्षेत्रफल} = \tfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin C\) से निकाला जाता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(a = 5\), \(b = 7\), और बीच का कोण \(C = 60°\) है। तब \(\cos 60° = 0.5\) होता है, इसलिए $$c^{2} = 25 + 49 - 2\cdot 5\cdot 7\cdot 0.5 = 74 - 35 = 39,$$ जिससे \(c = \sqrt{39} \approx 6.245\) आता है। परिमाप \(= 5 + 7 + 6.245 \approx 18.245\) और क्षेत्रफल \(= \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 7\cdot\sin 60° \approx 15.155\) होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
"बीच का" कोण क्या होता है? यह वह कोण है जो आपके द्वारा दर्ज की गई दोनों भुजाओं के बीच बनता है। अज्ञात भुजा हमेशा इसी कोण के सामने होती है।
क्या कोण 90° से बड़ा हो सकता है? हाँ — कोसाइन नियम 0° से 180° तक किसी भी कोण के लिए काम करता है, अधिक कोण (अधिककोणीय) त्रिभुजों सहित।
क्या इकाई से फर्क पड़ता है? दोनों भुजाओं के लिए एक ही लंबाई इकाई का उपयोग करें; परिणाम उसी इकाई में मिलेगा, और क्षेत्रफल उस इकाई के वर्ग में।
