कोसाइन नियम क्या है?
कोसाइन नियम (Law of Cosines) त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई को उसके किसी एक कोण के कोसाइन से जोड़ता है। यह पाइथागोरस प्रमेय का सामान्यीकृत रूप है, जो केवल समकोण त्रिभुजों तक सीमित नहीं बल्कि हर तरह के त्रिभुज पर लागू होता है। जब आपको या तो तीनों भुजाएँ (SSS) पता हों या दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण (SAS), तो त्रिभुज हल करने के लिए यही सबसे कारगर औज़ार है। मान लीजिए भुजाएँ a, b, c क्रमशः कोणों A, B, C के सामने हैं, तो नियम कहता है $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cdot\cos A$$। इसी को पुनर्व्यवस्थित करके तीन भुजाओं से कोई भी कोण निकाला जा सकता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
सबसे पहले चुनें कि आप क्या निकालना चाहते हैं। कोण वाले मोड (Angle A, B या C) में बस तीनों भुजाओं a, b और c की लंबाई डालें — सॉल्वर पहले चुना हुआ कोण निकालता है, फिर बाकी दोनों, और पूरे त्रिभुज का विवरण दिखाता है। भुजा वाले मोड (Side a, b या c) में दो ज्ञात भुजाएँ और उनके बीच का शामिल कोण डालें; गायब भुजा SAS रूप से निकाली जाती है। अपनी पसंद की कोण इकाई (डिग्री या रेडियन), एक वैकल्पिक लंबाई-इकाई लेबल, और राउंडिंग के लिए सार्थक अंकों की संख्या चुनें।
सूत्र की व्याख्या
तीन भुजाओं से कोई कोण निकालने के लिए कोसाइन नियम को इस तरह पुनर्व्यवस्थित करें: $$A = \arccos\!\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$$। दो भुजाओं और उनके बीच के कोण से कोई भुजा निकालने के लिए उपयोग करें: $$a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc\cos A}$$। जब सभी भुजाएँ ज्ञात हो जाती हैं, तो कैलकुलेटर त्रिभुज की बाकी विशेषताएँ भी जोड़ देता है: परिमाप \(P = a + b + c\), अर्ध-परिमाप \(s = P/2\), हेरॉन के सूत्र से क्षेत्रफल \(K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\), अंतःत्रिज्या \(r = K/s\), और परित्रिज्या \(R = abc/(4K)\)।
हल किया हुआ उदाहरण
एक 3-4-5 त्रिभुज के लिए: \(A = \arccos\!\left(\frac{16+25-9}{40}\right) = \arccos(0.8) = 36.8699^\circ\), \(B = \arccos\!\left(\frac{9+25-16}{30}\right) = \arccos(0.6) = 53.1301^\circ\), और \(C = \arccos(0) = 90^\circ\)। इनका योग \(180^\circ\) होता है, जो पुष्टि करता है कि यह समकोण त्रिभुज है। इसका परिमाप 12, अर्ध-परिमाप 6, क्षेत्रफल 6, अंतःत्रिज्या 1 और परित्रिज्या 2.5 है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर मेरी भुजाएँ त्रिभुज नहीं बनातीं तो? प्रत्येक भुजा बाकी दोनों के योग से छोटी होनी चाहिए (त्रिभुज असमिका)। यदि यह शर्त पूरी नहीं होती, तो कोई वास्तविक त्रिभुज नहीं बनता और कैलकुलेटर त्रुटि दिखाएगा।
कोसाइन नियम बनाम साइन नियम — कब किसका उपयोग करें? SSS और SAS मामलों में कोसाइन नियम का उपयोग करें। जब आपको दो कोण और एक भुजा (AAS/ASA) या दो भुजाएँ और उनके बीच न आने वाला कोण पता हो, तब साइन नियम बेहतर रहता है।
क्या लंबाई की इकाई बदलने से कोण बदल जाते हैं? नहीं। कोण केवल भुजाओं के अनुपात पर निर्भर करते हैं, इसलिए ज्यामिति पैमाने से स्वतंत्र रहती है। लंबाई की इकाई केवल प्रदर्शन का लेबल है।
