ما هو قانون جيب التمام؟
يربط قانون جيب التمام بين أطوال أضلاع المثلث الثلاثة وجيب تمام إحدى زواياه. وهو تعميم لنظرية فيثاغورس لتشمل أي مثلث (وليس المثلثات القائمة فقط)، ويُعدّ الأداة الأساسية لحل المثلثات عندما تكون الأضلاع الثلاثة معلومة (SSS) أو عندما يُعرف ضلعان والزاوية المحصورة بينهما (SAS). فإذا كانت الأضلاع a وb وc مقابلة للزوايا A وB وC، فإن القاعدة تنص على أن \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cdot\cos A\)، ويمكن إعادة ترتيبها لإيجاد أي زاوية انطلاقًا من الأضلاع الثلاثة.
كيفية استخدام الحاسبة
اختر أولًا ما تريد حسابه. في أوضاع الزوايا (الزاوية A أو B أو C)، يكفي إدخال أطوال الأضلاع الثلاثة a وb وc — وعندها يوجد البرنامج الزاوية المطلوبة، ثم الزاويتين الأخريين، ويعرض بيانات المثلث كاملةً. أما في أوضاع الأضلاع (الضلع a أو b أو c)، فأدخل الضلعين المعلومين والزاوية المحصورة؛ ويُحسب الضلع المجهول باستخدام صيغة SAS. اختر وحدة الزاوية (درجات أو راديان)، ووسمًا اختياريًا لوحدة الطول، وعدد الأرقام المعنوية للتقريب.
شرح الصيغة
لإيجاد زاوية انطلاقًا من ثلاثة أضلاع، أعد ترتيب قانون جيب التمام على النحو التالي: $$A = \arccos\!\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$$ ولإيجاد ضلع انطلاقًا من ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، استخدم $$a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc\cos A}$$ وبمجرد معرفة جميع الأضلاع، تضيف الحاسبة خصائص المثلث: المحيط \(P = a + b + c\)، ونصف المحيط \(s = P/2\)، والمساحة بصيغة هيرون \(K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)، ونصف قطر الدائرة الداخلية \(r = K/s\)، ونصف قطر الدائرة المحيطة \(R = abc/(4K)\).
مثال محلول
لمثلث أبعاده 3-4-5: $$A = \arccos\!\left(\frac{16+25-9}{40}\right) = \arccos(0.8) = 36.8699°$$ و$$B = \arccos\!\left(\frac{9+25-16}{30}\right) = \arccos(0.6) = 53.1301°$$ و\(C = \arccos(0) = 90°\). ومجموعها 180°، مما يؤكد أنه مثلث قائم الزاوية. والمحيط يساوي 12، ونصف المحيط 6، والمساحة 6، ونصف قطر الدائرة الداخلية 1، ونصف قطر الدائرة المحيطة 2.5.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كانت أضلاعي لا تكوّن مثلثًا؟ يجب أن يكون كل ضلع أقصر من مجموع الضلعين الآخرين (متباينة المثلث). فإذا لم يتحقق هذا الشرط، فلا وجود لمثلث حقيقي وتعرض الحاسبة رسالة خطأ.
متى أستخدم قانون جيب التمام بدلًا من قانون الجيوب؟ استخدم قانون جيب التمام في حالتي SSS وSAS. أما قانون الجيوب فهو الأنسب عندما تعرف زاويتين وضلعًا (AAS/ASA) أو ضلعين وزاوية غير محصورة بينهما.
هل تؤثر وحدة الطول في الزوايا؟ لا. تعتمد الزوايا على نسب الأضلاع فقط، لذا فإن الشكل الهندسي لا يتغير بتغير المقياس. وما وحدة الطول إلا وسمٌ للعرض ليس إلا.
