Kosinüs teoremi nedir?
Kosinüs teoremi, bir üçgenin üç kenar uzunluğunu, açılarından birinin kosinüsüyle ilişkilendirir. Pisagor teoremini yalnızca dik üçgenler için değil, her türlü üçgen için geçerli olacak şekilde genelleştirir ve üç kenarın tamamını (KKK) ya da iki kenar ile aralarındaki açıyı (KAK) bildiğinizde üçgeni çözmenin en temel aracıdır. A, B, C açılarının karşısındaki a, b, c kenarları için kural şöyledir: $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$ Bu eşitliği yeniden düzenleyerek üç kenardan herhangi bir açıyı bulabilirsiniz.
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Öncelikle neyi Hesaplamak istediğinizi seçin. Açı modlarında (A, B veya C Açısı) yalnızca a, b ve c kenar uzunluklarının üçünü de girmeniz yeterlidir; araç önce seçtiğiniz açıyı, ardından diğer ikisini bulur ve üçgenin tüm değerlerini gösterir. Kenar modlarında (a, b veya c Kenarı) bilinen iki kenarı ve aralarındaki açıyı girin; eksik kenar KAK formülüyle hesaplanır. Açı birimini (derece ya da radyan), isteğe bağlı bir uzunluk birimi etiketini ve yuvarlama için anlamlı basamak sayısını da belirleyebilirsiniz.
Formülün açıklaması
Üç kenardan bir açıyı bulmak için kosinüs teoremini şöyle düzenleriz: $$A = \arccos\!\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$$ İki kenar ile aralarındaki açıdan bir kenar bulmak içinse $$a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc\cos A}$$ formülünü kullanırız. Tüm kenarlar bilindiğinde araç üçgenin diğer özelliklerini de ekler: çevre \(P = a + b + c\), yarı çevre \(s = P/2\), Heron formülüyle alan \(K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\), iç teğet çember yarıçapı \(r = K/s\) ve dış teğet (çevrel) çember yarıçapı \(R = abc/(4K)\).
Örnek çözüm
3-4-5 üçgeni için: \(A = \arccos\!\left(\frac{16+25-9}{40}\right) = \arccos(0{,}8) = 36{,}8699^\circ\), \(B = \arccos\!\left(\frac{9+25-16}{30}\right) = \arccos(0{,}6) = 53{,}1301^\circ\) ve \(C = \arccos(0) = 90^\circ\). Toplamları 180° olduğundan bunun bir dik üçgen olduğu doğrulanır. Çevre 12, yarı çevre 6, alan 6, iç teğet yarıçap 1 ve çevrel yarıçap 2,5'tir.
Sık sorulan sorular
Kenarlarım bir üçgen oluşturmazsa ne olur? Her kenar, diğer iki kenarın toplamından kısa olmalıdır (üçgen eşitsizliği). Bu koşul sağlanmazsa gerçek bir üçgen oluşmaz ve araç bir hata mesajı gösterir.
Kosinüs teoremini sinüs teoremi yerine ne zaman kullanmalıyım? KKK ve KAK durumlarında kosinüs teoremini kullanın. İki açı ile bir kenarı (AAK/AKA) ya da iki kenar ile aralarında bulunmayan bir açıyı bildiğinizde ise sinüs teoremi daha uygundur.
Uzunluk birimi açıları değiştirir mi? Hayır. Açılar yalnızca kenarların oranlarına bağlıdır; bu nedenle geometri ölçekten bağımsızdır. Uzunluk birimi yalnızca ekranda gösterilen bir etikettir.
