Định lý hàm cosin là gì?
Định lý hàm cosin liên hệ độ dài ba cạnh của một tam giác với cosin của một trong các góc của nó. Đây là sự mở rộng của định lý Pythagore cho mọi tam giác (chứ không chỉ tam giác vuông) và là công cụ then chốt để giải tam giác khi bạn biết cả ba cạnh (SSS) hoặc hai cạnh và góc xen giữa (SAS). Với các cạnh a, b, c đối diện các góc A, B, C, định lý phát biểu rằng $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$ từ đó biến đổi để tính bất kỳ góc nào khi biết ba cạnh.
Cách dùng công cụ này
Trước tiên hãy chọn đại lượng bạn muốn Tính. Ở các chế độ tính góc (Góc A, B hoặc C), bạn chỉ cần nhập đủ độ dài ba cạnh a, b và c — công cụ sẽ tìm góc đã chọn, sau đó hai góc còn lại, rồi xuất ra toàn bộ thông tin của tam giác. Ở các chế độ tính cạnh (Cạnh a, b hoặc c), hãy nhập hai cạnh đã biết và góc xen giữa; cạnh còn thiếu sẽ được tính bằng công thức SAS. Bạn cũng có thể chọn đơn vị góc (độ hoặc radian), nhãn đơn vị độ dài tuỳ chọn và số chữ số có nghĩa khi làm tròn.
Giải thích công thức
Để tìm một góc từ ba cạnh, ta biến đổi định lý hàm cosin thành: $$A = \arccos\!\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$$ Để tìm một cạnh từ hai cạnh và góc xen giữa, dùng $$a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc\cos A}$$ Khi đã biết đủ ba cạnh, công cụ sẽ bổ sung các đặc trưng của tam giác: chu vi \(P = a + b + c\), nửa chu vi \(s = P/2\), diện tích theo công thức Heron \(K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\), bán kính đường tròn nội tiếp \(r = K/s\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R = abc/(4K)\).
Ví dụ minh hoạ
Với tam giác 3-4-5: \(A = \arccos\!\left(\frac{16+25-9}{40}\right) = \arccos(0{,}8) = 36{,}8699°\), \(B = \arccos\!\left(\frac{9+25-16}{30}\right) = \arccos(0{,}6) = 53{,}1301°\) và \(C = \arccos(0) = 90°\). Tổng ba góc bằng 180°, xác nhận đây là tam giác vuông. Chu vi là 12, nửa chu vi 6, diện tích 6, bán kính nội tiếp 1 và bán kính ngoại tiếp 2,5.
Câu hỏi thường gặp
Nếu ba cạnh của tôi không tạo thành tam giác thì sao? Mỗi cạnh phải nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại (bất đẳng thức tam giác). Nếu điều kiện này không thoả mãn thì không tồn tại tam giác thực, và công cụ sẽ báo lỗi.
Khi nào nên dùng định lý hàm cosin thay vì định lý hàm sin? Hãy dùng định lý hàm cosin cho các trường hợp SSS và SAS. Định lý hàm sin phù hợp hơn khi bạn biết hai góc và một cạnh (AAS/ASA) hoặc hai cạnh và một góc không xen giữa.
Đơn vị độ dài có làm thay đổi các góc không? Không. Các góc chỉ phụ thuộc vào tỉ lệ giữa các cạnh, nên hình học là bất biến theo tỉ lệ. Đơn vị độ dài chỉ là nhãn hiển thị.
