¿Qué es el teorema del coseno?
El teorema del coseno (también llamado ley de los cosenos) relaciona las longitudes de los tres lados de un triángulo con el coseno de uno de sus ángulos. Es una generalización del teorema de Pitágoras válida para cualquier triángulo —no solo los rectángulos— y resulta la herramienta clave para resolver triángulos cuando conoces los tres lados (LLL) o dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (LAL). Para los lados a, b y c, opuestos a los ángulos A, B y C, la regla establece que $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$ expresión que puede despejarse para obtener cualquier ángulo a partir de los tres lados.
Cómo usar esta calculadora
Elige primero qué quieres Calcular. En los modos de ángulo (Ángulo A, B o C) basta con introducir las tres longitudes a, b y c: la calculadora halla el ángulo indicado, después los otros dos y muestra el triángulo completo. En los modos de lado (Lado a, b o c), introduce los dos lados conocidos y el ángulo comprendido; el lado que falta se calcula con la fórmula LAL. Selecciona también la unidad angular (grados o radianes), una etiqueta opcional para la unidad de longitud y el número de cifras significativas para el redondeo.
La fórmula explicada
Para hallar un ángulo a partir de los tres lados, se despeja el teorema del coseno: $$A = \arccos\!\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$$ Para hallar un lado a partir de dos lados y el ángulo comprendido, se usa $$a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc\cos A}$$ Una vez conocidos todos los lados, la calculadora añade las características del triángulo: perímetro \(P = a + b + c\), semiperímetro \(s = P/2\), área mediante la fórmula de Herón \(K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\), inradio \(r = K/s\) y circunradio \(R = abc/(4K)\).
Ejemplo resuelto
Para un triángulo 3-4-5: $$A = \arccos\!\left(\frac{16+25-9}{40}\right) = \arccos(0{,}8) = 36{,}8699°,$$ $$B = \arccos\!\left(\frac{9+25-16}{30}\right) = \arccos(0{,}6) = 53{,}1301°$$ y \(C = \arccos(0) = 90°\). Su suma es 180°, lo que confirma que se trata de un triángulo rectángulo. El perímetro es 12, el semiperímetro 6, el área 6, el inradio 1 y el circunradio 2,5.
Preguntas frecuentes
¿Y si mis lados no forman un triángulo? Cada lado debe ser menor que la suma de los otros dos (la desigualdad triangular). Si esto no se cumple, no existe ningún triángulo real y la calculadora muestra un error.
¿Cuándo conviene usar el teorema del coseno en lugar del teorema del seno? Usa el teorema del coseno para los casos LLL y LAL. El teorema del seno resulta más adecuado cuando conoces dos ángulos y un lado (AAL/ALA) o dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos.
¿La unidad de longitud afecta a los ángulos? No. Los ángulos dependen únicamente de las proporciones entre los lados, por lo que la geometría es invariante de escala. La unidad de longitud es solo una etiqueta de presentación.
