코사인 법칙이란?
코사인 법칙은 삼각형의 세 변 길이와 한 각의 코사인 값 사이의 관계를 나타냅니다. 직각삼각형에만 적용되는 피타고라스 정리를 일반 삼각형까지 확장한 것으로, 세 변을 모두 알 때(SSS)나 두 변과 그 사이각을 알 때(SAS) 삼각형을 푸는 핵심 도구입니다. 각 A, B, C와 마주 보는 변을 각각 a, b, c라고 하면 $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$가 성립하며, 이 식을 변형하면 세 변으로 임의의 각을 구할 수 있습니다.
계산기 사용법
먼저 무엇을 계산할지 선택하세요. 각도 모드(각 A, B, C)에서는 세 변 a, b, c의 길이만 입력하면 됩니다. 계산기가 지정한 각을 먼저 구하고 나머지 두 각까지 찾아 삼각형 전체 정보를 보여줍니다. 변 모드(변 a, b, c)에서는 알고 있는 두 변과 사이각을 입력하면 SAS 공식으로 나머지 한 변을 계산합니다. 각도 단위(도 또는 라디안), 선택 사항인 길이 단위 표시, 반올림에 쓸 유효숫자 자릿수를 함께 지정할 수 있습니다.
공식 풀이
세 변으로 각을 구하려면 코사인 법칙을 다음과 같이 변형합니다: $$A = \arccos\!\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$$ 두 변과 사이각으로 한 변을 구하려면 $$a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc\cos A}$$를 사용합니다. 세 변이 모두 정해지면 계산기는 삼각형의 추가 특성도 함께 산출합니다. 둘레 \(P = a + b + c\), 반둘레 \(s = P/2\), 헤론의 공식으로 구한 넓이 \(K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\), 내접원 반지름 \(r = K/s\), 외접원 반지름 \(R = abc/(4K)\)입니다.
예제 풀이
3-4-5 삼각형을 예로 들어보겠습니다. $$A = \arccos\!\left(\frac{16+25-9}{40}\right) = \arccos(0.8) = 36.8699°$$ $$B = \arccos\!\left(\frac{9+25-16}{30}\right) = \arccos(0.6) = 53.1301°$$ \(C = \arccos(0) = 90°\)입니다. 세 각의 합이 180°가 되어 직각삼각형임이 확인됩니다. 둘레는 12, 반둘레는 6, 넓이는 6, 내접원 반지름은 1, 외접원 반지름은 2.5입니다.
자주 묻는 질문
입력한 세 변이 삼각형을 이루지 못하면 어떻게 되나요? 각 변은 나머지 두 변의 합보다 짧아야 합니다(삼각부등식). 이 조건을 만족하지 못하면 실제 삼각형이 존재하지 않으므로 계산기에 오류가 표시됩니다.
코사인 법칙과 사인 법칙 중 언제 무엇을 써야 하나요? SSS와 SAS 상황에서는 코사인 법칙을 사용하세요. 두 각과 한 변을 알 때(AAS/ASA)나 두 변과 사이가 아닌 각을 알 때는 사인 법칙이 더 적합합니다.
길이 단위가 각도에 영향을 주나요? 아닙니다. 각도는 변의 비율에만 의존하므로 도형은 크기에 무관(스케일 불변)합니다. 길이 단위는 단지 화면에 표시되는 라벨일 뿐입니다.
