什麼是餘弦定理？
餘弦定理描述三角形三邊長與其中一個內角餘弦值之間的關係。它把畢氏定理推廣到任意三角形（不只限於直角三角形），是當你已知三邊長（SSS）或兩邊及其夾角（SAS）時，用來求解三角形的關鍵工具。設邊 a、b、c 分別與角 A、B、C 相對，公式為 $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$ 移項後即可由三邊長反推任一內角。
如何使用本計算器
先選擇你想計算的項目。在求角模式（角 A、B 或 C）中，只要輸入三邊長 a、b、c，計算器會先求出指定的內角，接著算出另外兩個角，並輸出整個三角形的資料。在求邊模式（邊 a、b 或 c）中，輸入兩條已知邊長與其夾角，缺少的那一邊即以 SAS 公式算出。你還可以選擇角度單位（度或弧度）、選填長度單位標籤，以及四捨五入所用的有效數字位數。
公式解析
要由三邊長求角，將餘弦定理移項：$$A = \arccos\!\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$$ 要由兩邊及夾角求第三邊，則用 $$a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc\cos A}$$ 當三邊長都已知後，計算器會進一步算出三角形的各項特徵：周長 \(P = a + b + c\)、半周長 \(s = P/2\)、以海龍公式求得的面積 \(K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)、內切圓半徑 \(r = K/s\)，以及外接圓半徑 \(R = abc/(4K)\)。
範例演算
以 3-4-5 三角形為例：$$A = \arccos\!\left(\frac{16+25-9}{40}\right) = \arccos(0.8) = 36.8699°$$ \(B = \arccos\!\left(\frac{9+25-16}{30}\right) = \arccos(0.6) = 53.1301°\)，\(C = \arccos(0) = 90°\)。三角相加為 180°，確認這是一個直角三角形。其周長為 12、半周長為 6、面積為 6、內切圓半徑為 1，外接圓半徑為 2.5。
常見問題
如果我輸入的三邊無法構成三角形怎麼辦？每一邊都必須小於另外兩邊之和（即三角形不等式）。若不滿足這個條件，就不存在實際的三角形，計算器會顯示錯誤訊息。
什麼時候該用餘弦定理而非正弦定理？餘弦定理適用於 SSS（已知三邊）與 SAS（已知兩邊及夾角）的情況。若你已知兩角與一邊（AAS／ASA），或已知兩邊及非夾角，則使用正弦定理較為合適。
長度單位會影響角度嗎？不會。角度只取決於各邊之間的比例，因此幾何形狀具有尺度不變性。長度單位純粹是顯示用的標籤而已。
