Qu'est-ce que la loi des cosinus ?
La loi des cosinus relie la longueur des trois côtés d'un triangle au cosinus de l'un de ses angles. Elle généralise le théorème de Pythagore à tout triangle (et non plus seulement aux triangles rectangles) et constitue l'outil de référence pour résoudre un triangle lorsque l'on connaît soit les trois côtés (cas SSS, ou CCC), soit deux côtés et l'angle compris entre eux (cas SAS, ou CAC). Pour des côtés a, b, c opposés aux angles A, B, C, la formule s'écrit $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$, ce qui permet, après réarrangement, de déterminer n'importe quel angle à partir des trois côtés.
Comment utiliser ce calculateur
Choisissez d'abord ce que vous souhaitez calculer. Dans les modes « angle » (angle A, B ou C), il suffit de saisir les trois longueurs de côtés a, b et c : le solveur détermine l'angle demandé, puis les deux autres, et affiche le triangle complet. Dans les modes « côté » (côté a, b ou c), saisissez les deux côtés connus ainsi que l'angle compris entre eux ; le côté manquant est alors calculé à l'aide de la formule SAS (CAC). Sélectionnez enfin votre unité d'angle (degrés ou radians), une étiquette d'unité de longueur facultative et le nombre de chiffres significatifs pour l'arrondi.
La formule expliquée
Pour trouver un angle à partir des trois côtés, on réarrange la loi des cosinus : $$A = \arccos\!\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$$. Pour trouver un côté à partir de deux côtés et de l'angle compris entre eux, on utilise $$a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc\cos A}$$. Une fois tous les côtés connus, le calculateur ajoute les caractéristiques du triangle : périmètre \(P = a + b + c\), demi-périmètre \(s = P/2\), aire par la formule de Héron \(K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\), rayon du cercle inscrit \(r = K/s\) et rayon du cercle circonscrit \(R = abc/(4K)\).
Exemple résolu
Pour un triangle 3-4-5 : $$A = \arccos\!\left(\frac{16+25-9}{40}\right) = \arccos(0{,}8) = 36{,}8699°,$$ $$B = \arccos\!\left(\frac{9+25-16}{30}\right) = \arccos(0{,}6) = 53{,}1301°,$$ et \(C = \arccos(0) = 90°\). Leur somme vaut 180°, ce qui confirme qu'il s'agit bien d'un triangle rectangle. Le périmètre est de 12, le demi-périmètre de 6, l'aire de 6, le rayon inscrit de 1 et le rayon circonscrit de 2,5.
FAQ
Et si mes côtés ne forment pas un triangle ? Chaque côté doit être plus court que la somme des deux autres (c'est l'inégalité triangulaire). Si cette condition n'est pas respectée, aucun triangle réel n'existe et le calculateur affiche une erreur.
Quand faut-il préférer la loi des cosinus à la loi des sinus ? Utilisez la loi des cosinus pour les cas SSS (CCC) et SAS (CAC). La loi des sinus est plus adaptée lorsque vous connaissez deux angles et un côté (AAS/ASA) ou deux côtés et un angle non compris entre eux.
L'unité de longueur modifie-t-elle les angles ? Non. Les angles ne dépendent que des rapports entre les côtés : la géométrie est donc invariante par changement d'échelle. L'unité de longueur n'est qu'une simple étiquette d'affichage.
