À quoi sert ce calculateur
Cet outil résout le problème classique du triangle dit CAC (côté-angle-côté) : à partir de deux côtés d'un triangle et de l'angle qui les sépare, il calcule la longueur du troisième côté à l'aide de la loi des cosinus. Il vous donne aussi le périmètre et l'aire du triangle, pour une vision complète de la figure en un seul calcul.
Comment l'utiliser
Saisissez les deux côtés connus, a et b, dans l'unité de votre choix (cm, m, po — l'essentiel est de garder la même unité). Indiquez ensuite l'angle compris C en degrés : c'est l'angle formé au point de rencontre des côtés a et b, opposé au côté que vous cherchez. Cliquez sur « calculer » et le troisième côté c, le périmètre ainsi que l'aire s'affichent instantanément.
La formule expliquée
La loi des cosinus généralise le théorème de Pythagore à n'importe quel triangle :
$$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2ab\cdot\cos C}$$
Lorsque \(C = 90°\), \(\cos C = 0\) : la formule se réduit alors à \(c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\), soit exactement Pythagore. Quand \(C\) dépasse 90°, \(\cos C\) devient négatif et \(c\) s'allonge ; quand \(C\) tend vers 0°, \(c\) se rapproche de \(|a - b|\). L'aire se calcule à l'aide de la formule complémentaire \(\text{Aire} = \tfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin C\).
Exemple détaillé
Supposons \(a = 5\), \(b = 7\) et un angle compris \(C = 60°\). Comme \(\cos 60° = 0{,}5\), on obtient $$c^{2} = 25 + 49 - 2\cdot 5\cdot 7\cdot 0{,}5 = 74 - 35 = 39,$$ donc \(c = \sqrt{39} \approx 6{,}245\). Le périmètre vaut \(5 + 7 + 6{,}245 \approx 18{,}245\) et l'aire est égale à \(\tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 7\cdot\sin 60° \approx 15{,}155\).
Questions fréquentes
Qu'est-ce que l'angle « compris » ? C'est l'angle situé entre les deux côtés que vous avez saisis. Le côté inconnu est toujours opposé à cet angle.
L'angle peut-il dépasser 90° ? Oui : la loi des cosinus fonctionne pour tout angle compris entre 0° et 180°, y compris pour les triangles obtus.
Les unités ont-elles une importance ? Utilisez la même unité de longueur pour les deux côtés : le résultat est exprimé dans cette unité, et l'aire dans son carré.
