Calculateur de la loi des cosinus

Entrez le calcul

Côté a

Côté b

Angle compris C (degrés)

Formule

Show calculation steps (3)

1. Angle A

   

   A is the angle opposite side a; c is the third side from above

2. Angle B

   

   B is the angle opposite side b; c is the third side from above

3. Triangle Area

   

   Area from two sides and the included angle C

Résultats

Troisième côté (c)

6,245

opposé à l'angle C

Angle A	43,9°
Angle B	76,1°
Angle C	60°
Aire du triangle	15,1554

Qu'est-ce que la loi des cosinus ?

La loi des cosinus relie les longueurs des trois côtés d'un triangle quelconque au cosinus de l'un de ses angles. Il s'agit d'une généralisation du théorème de Pythagore : lorsque l'angle compris vaut 90°, le terme en cosinus s'annule et la formule se réduit à \(c^2 = a^2 + b^2\). C'est donc l'outil idéal pour résoudre un triangle dont on connaît deux côtés et l'angle qui les sépare (le cas dit « côté-angle-côté », ou CAC).

Un triangle avec les côtés a, b, c et l'angle C opposé au côté c.

Comment utiliser ce calculateur

Saisissez les longueurs des deux côtés connus, a et b, ainsi que l'angle compris C (l'angle situé entre ces deux côtés, exprimé en degrés). Le calculateur vous donne le troisième côté c, les deux angles restants A et B, ainsi que l'aire du triangle. L'angle C doit être compris entre 0° et 180°.

La formule expliquée

L'équation centrale est $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$$ Il suffit d'en extraire la racine carrée pour obtenir le côté c. Une fois les trois côtés connus, on détermine les angles restants en réarrangeant la même loi : \(\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\). L'aire du triangle se calcule grâce à la formule CAC : $$\text{Aire} = \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)$$

L'angle C se situe entre les deux côtés connus a et b.

Exemple détaillé

Prenons \(a = 5\), \(b = 7\) et \(C = 60°\). On obtient alors $$c^2 = 25 + 49 - 2(5)(7)\cos(60°) = 74 - 70(0{,}5) = 74 - 35 = 39$$ soit \(c = \sqrt{39} \approx 6{,}245\). L'aire vaut \(\tfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin(60°) = 17{,}5 \times 0{,}8660 \approx 15{,}16\).

Foire aux questions

Quand faut-il utiliser la loi des cosinus plutôt que la loi des sinus ? Utilisez la loi des cosinus pour les cas CAC (deux côtés et l'angle compris) ou CCC (les trois côtés). Réservez la loi des sinus aux situations où vous disposez d'un angle associé au côté qui lui est opposé.

Dans quelle unité exprimer l'angle ? Saisissez l'angle en degrés ; le calculateur le convertit automatiquement en radians lors du calcul.

Fonctionne-t-il avec les triangles obtus ? Oui. Pour un angle supérieur à 90°, \(\cos(C)\) devient négatif, ce qui allonge correctement le côté c.