À quoi sert ce calculateur
Le calculateur de théorèmes du triangle résout entièrement un triangle à partir de l'une des six combinaisons classiques de données : AAA (trois angles), AAS (deux angles et un côté), ASA (deux angles et le côté compris entre eux), ASS/SSA (un angle et deux côtés, le cas ambigu), SAS (deux côtés et l'angle compris entre eux) et SSS (trois côtés). Il suit la convention de notation habituelle où l'angle A est opposé au côté a, l'angle B au côté b et l'angle C au côté c.
Comment l'utiliser
Dans le menu déroulant « Calculer : », sélectionnez le théorème qui correspond aux informations dont vous disposez, puis saisissez les trois valeurs concernées. Indiquez si vos angles sont exprimés en degrés ou en radians, choisissez éventuellement une unité de longueur (il s'agit uniquement d'un libellé d'affichage — tous les côtés doivent utiliser la même unité) et définissez le nombre de chiffres significatifs. Le résultat affiche les trois angles, les trois côtés, ainsi que le périmètre P, le demi-périmètre s, l'aire K, le rayon du cercle inscrit \(r\) et le rayon du cercle circonscrit \(R\).
Les formules expliquées
La règle de la somme des angles (\(A + B + C = 180\) degrés) permet de retrouver un angle manquant. La loi des sinus,
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$donne les côtés inconnus dès qu'un angle et son côté opposé sont connus. La loi des cosinus,
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$traite les cas SAS et SSS. Une fois tous les côtés et angles déterminés, la formule de Héron donne l'aire
$$K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$le rayon inscrit vaut \(r = K/s\) et le rayon circonscrit \(R = abc/(4K)\).
Exemple résolu (ASA)
Soit \(A = 60\degree\), le côté compris \(c = 10\) et \(B = 50\degree\) : on calcule d'abord
$$C = 180 - 60 - 50 = 70\degree$$Par la loi des sinus,
$$a = \frac{10\cdot\sin 60\degree}{\sin 70\degree} = 9{,}21595$$$$b = \frac{10\cdot\sin 50\degree}{\sin 70\degree} = 8{,}15205$$On obtient ensuite \(P = 27{,}3680\), \(s = 13{,}6840\), \(K = 35{,}2912\), \(r = 2{,}57902\) et \(R = 5{,}32200\).
FAQ
Pourquoi le cas AAA ne donne-t-il pas la longueur des côtés ? Trois angles ne fixent que la forme, pas la taille : il existe une infinité de triangles semblables, si bien que les côtés, le périmètre, l'aire et les rayons restent indéterminés.
Qu'est-ce que le cas ambigu (SSA) ? Lorsque vous connaissez un angle et deux côtés, l'angle n'étant pas compris entre eux, il peut exister zéro, un ou deux triangles valides. Cet outil affiche la solution principale et signale les cas impossibles.
Convertit-il les unités de longueur ? Non — l'unité de longueur n'est qu'un libellé ajouté aux résultats. Saisissez tous les côtés dans la même unité ; l'aire est exprimée dans cette unité au carré.
