Qu'est-ce que le cas SSA d'un triangle ?
Le cas SSA (côté-côté-angle) se présente lorsque vous connaissez deux côtés d'un triangle ainsi qu'un angle qui n'est pas compris entre eux. Ce calculateur s'appuie sur la loi des sinus pour déterminer l'angle inconnu B, le troisième angle C et le troisième côté c. Le cas SSA est célèbre pour être le « cas ambigu » : les données fournies peuvent correspondre à zéro, un ou deux triangles distincts.
Comment l'utiliser
Saisissez le côté a (le côté opposé à l'angle connu A), l'angle A en degrés, puis le côté b. Le calculateur évalue \(\sin B\), la valeur aiguë de \(B\), puis \(C\) et \(c\). Il indique également combien de triangles valides découlent de vos données.
La formule expliquée
D'après la loi des sinus, \(\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin A}{a}\), d'où
$$\sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a}$$Si cette valeur dépasse 1, aucun triangle n'existe. Sinon,
$$B = \arcsin(\ldots), \quad C = 180^{\circ} - A - B, \quad c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A}$$Un second triangle (avec \(B' = 180^{\circ} - B\)) apparaît dès que \(a < b\) et \(A + B' < 180^{\circ}\).
Exemple résolu
Avec \(a = 7\), \(A = 40^{\circ}\) et \(b = 5\) :
$$\sin B = \frac{5 \cdot \sin(40^{\circ})}{7} = \frac{5 \cdot 0{,}6428}{7} \approx 0{,}4591$$donc \(B \approx 27{,}33^{\circ}\), \(C \approx 112{,}67^{\circ}\) et
$$c = \frac{7 \cdot \sin(112{,}67^{\circ})}{\sin(40^{\circ})} \approx 10{,}04$$Ici, comme \(a > b\), seule la valeur aiguë de \(B\) donne un triangle valide : puisque \(a > b\), il n'existe qu'un seul triangle.
FAQ
Pourquoi parle-t-on de cas « ambigu » ? Deux triangles différents peuvent partager les mêmes valeurs \(a\), \(A\) et \(b\) lorsque le côté opposé à l'angle connu est plus court que l'autre côté donné.
Quand obtient-on deux triangles ? Lorsque \(a < b\) mais que \(b \cdot \sin A < a\), deux valeurs de \(B\) – l'une aiguë, l'autre obtuse – satisfont l'équation.
Que se passe-t-il si \(\sin B > 1\) ? Aucun triangle n'existe : le côté \(a\) est trop court pour atteindre le côté \(b\).
